Question

【题目】已知二次函数y=x2﹣2（m+1）x+m（m+2）
（1）求证：无论m为任何实数，该函数图象与x轴两个交点之间的距离为定值．
（2）若该函数图象的对称轴为直线x=2，试求二次函数的最小值．

Answer 1

【答案】
（1）证明：设抛物线与x轴的两交点分别为（a，0），（b，0），

则a+b=2（m+1），ab=m（m+2），

所以|a﹣b|= = = =2，

即无论m为任何实数，该函数图象与x轴两个交点之间的距离为定值

（2）解：根据题意得x=﹣ =2，解得m=0，

则抛物线解析式为y=x2﹣2x=（x﹣1）2﹣1，

所以二次函数的最小值为﹣1

【解析】（1）设抛物线与x轴的两交点分别为（a，0），（b，0），根据抛物线与x轴的交点问题，得到方程x2﹣2（m+1）x+m（m+2）=0的两根分别为a与b，根据根与系数的关系得a+b=2（m+1），ab=m（m+2），而函数图象与x轴两个交点之间的距离可表示为|a﹣b|，然后根据代数式的变形得到|a﹣b|= = ，再利用整体代入的方法得到|a﹣b|= =2，由此可判断函数图象与x轴两个交点之间的距离为定值．（2）根据抛物线的对称轴方程得到x=﹣ =2，解得m=0，则抛物线解析式为y=x2﹣2x，然后配成顶点式得到二次函数的最小值．
【考点精析】本题主要考查了二次函数的最值和抛物线与坐标轴的交点的相关知识点，需要掌握如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值），即当x=-b/2a时，y最值=(4ac-b2)/4a；一元二次方程的解是其对应的二次函数的图像与x轴的交点坐标．因此一元二次方程中的b2-4ac，在二次函数中表示图像与x轴是否有交点．当b2-4ac>0时，图像与x轴有两个交点；当b2-4ac=0时，图像与x轴有一个交点；当b2-4ac<0时，图像与x轴没有交点．才能正确解答此题．