Question

6．已知，△AOB是等边三角形，△AOC是以AO为底边的等腰三角形，∠AOC=30°，M、N分别是以BO、AB边上的动点，∠MCN=60°，求证：MN=OM+AN．

Answer 1

分析 利用旋转法将△COM旋转到△CAE的位置，可证△CAE≌△COM，再利用角的相等关系，边的相等关系证明△MCN≌△ECN，利用全等的对应边相等证题．

解答 解：如图，延长BA到E，使AE=OM，连接CE，

∵△AOB是等边三角形，△AOC是以AO为底边的等腰三角形，∠AOC=30°，
∴∠MOC=∠BOA+∠AOC=60°+30°=90°，∠ACO=180°-∠AOC-∠ACO=120°，
∠CAE=180°-∠BAC=180°-∠BOC=90°，
在△CAE和△COM中，
$\left\{\begin{array}{l}{AE=OM}\\{∠CAE=∠COM}\\{CA=CO}\end{array}\right.$
∴△CAE≌△COM，
∴∠ECA=∠MCO，CE=CM，
∠NCE=∠NCA+∠ECA=∠NCA+∠MCO=∠ACO-∠MCN=120°-60°=60°，
∵在△MCN和△ECN中，
$\left\{\begin{array}{l}{MC=EC}\\{∠MCN=∠ECN}\\{CN=CN}\end{array}\right.$，
∴△MCN≌△ECN，
∴MN=NE，
∴MN=NE=AE+AN=OM+AN．

点评 此题主要考查等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质及等边三角形的性质的综合运用，解决本题的关键是作出辅助线，构建全等三角形．