Question

如图所示，点E、F分别是□ABCD的边BC和CD上的点，若CE=

1

4

CB，且CF=DF，证明：△AFE是直角三角形．

Answer 1

考点：正方形的性质,勾股定理,勾股定理的逆定理

专题：证明题

分析：设正方形的边长为4a，根据CE=

1

4

CB，且CF=DF，则CE=a，BE=3a，CF=DF=2a，根据勾股定理得出AE²=AB²+BE²=（4a）²+（3a）²=25a²，EF²=CE²+CF²=a²+（2a）²=5a²，AF²=AD²+DF²=（4a）²+（2a）²=20a²，从而证得AE²=EF²+AF²，即可证得△AFE是直角三角形．

解答：解：设正方形的边长为4a，
∵CE=

1

4

CB，且CF=DF，
∴CE=a，BE=3a，CF=DF=2a，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B=∠C=∠D=90°，
∴AE²=AB²+BE²=（4a）²+（3a）²=25a²，
EF²=CE²+CF²=a²+（2a）²=5a²，
AF²=AD²+DF²=（4a）²+（2a）²=20a²，
∴AE²=EF²+AF²，
∴△AEF是直角三角形．

点评：本题考查了正方形的性质，勾股定理及其逆定理，熟练掌握性质、定理是解题的关键．