Question

已知△ABC中，∠A：∠B：∠C=1：2：6，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边，求证：

a

b

=

a+b

a+b+c

．

Answer 1

考点：正弦定理与余弦定理,三角形内角和定理,三角形的外角性质,等腰三角形的性质,相似三角形的判定与性质

专题：证明题

分析：根据三角形的内角和定理可求出△ABC三个内角的度数，要证

a

b

=

a+b

a+b+c

，只需证a²+ab+ac=ab+b²即a（a+c）=b²，延长CB到点D，使得BD=BA，连接AD，只需证CB•CD=CA²，只需证△CAB∽△CDA，即可解决问题．

解答：解：设∠BAC=α，
由∠BAC：∠ABC：∠C=1：2：6可得∠B=2α，∠C=6α．
∵∠BAC+∠ABC+∠C=180°，
∴α+2α+6α=180°，
解得：α=20°，
∴∠BAC=20°，∠ABC=40°，∠C=120°．
延长CB到点D，使得BD=BA=c，连接AD，如图所示．
∵BD=BA，∠ABC=40°，
∴∠D=∠DAB，∠ABC=∠D+∠DAB=40°，
∴∠D=20°，
∴∠D=∠BAC．
∵∠C=∠C，∠BAC=∠D，
∴△CAB∽△CDA，
∴

CA

CD

=

CB

CA

，
∴

b

a+c

=

a

b

．
设

b

a+c

=

a

b

=k，
则有b=k（a+c），a=kb．
∴

a+b

a+b+c

=

kb+k(a+c)

a+b+c

=

k(a+b+c)

a+b+c

=k，
∴

a

b

=

a+b

a+b+c

．

点评：本题主要考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、三角形的内角和定理、三角形的外角性质等知识，构造相似三角形得到

b

a+c

=

a

b

是解决本题的关键．