由△ABC内任意一点O向三边BC，CA，AB分别作垂线，垂足分别是D，E，F．求证：AF²+BD²+CE²=FB²+DC²+EA²．

证明：
连接OA、OB、OC，
AO²=AF²+FO²，AO²=AE²+EO²；
BO²=BF²+FO²，BO²=BD²+OD²；
CO²=CD²+DO²，CO²=CE²+EO²；
AO²+BO²+CO²=AF²+FO²+BD²+OD²+CE²+EO²=AE²+EO²+BF²+FO²+CD²+DO²，
整理得：AF²+BD²+CE²=BF²+CD²+AE²．
分析：连接OA、OB、OC，构造直角三角形：△AOF，△AOE，△BOF，△BOD，△COD，△COE，根据勾股定理，分别用AE²、AF²、FO²、EO²、DO²、BF²、BD²、CD²、CE²表达OA²，OB²，OC²．即可证明该题．
点评：本题考查了直角三角形中勾股定理的运用，本题连接AO．BO．CO并在每个小直角三角形中利用勾股定理是解题的关键．

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科目：初中数学 来源： 题型：阅读理解

阅读材料：
如图，△ABC中，AB=AC，P为底边BC上任意一点，点P到两腰的距离分别为r₁，r₂，腰上的高为h，连接AP，则S_△ABP+S_△ACP=S_△ABC，即：

AB•r1+

AC•r2=

AB•h，∴r₁+r₂=h（定值）．
（1）类比与推理
如果把“等腰三角形”改成“等边三角形”，那么P的位置可以由“在底边上任一点”放宽为“在三角形内任一点”，即：已知等边△ABC内任意一点P到各边的距离分别为r₁，r₂，r₃，等边△ABC的高为h，试证明r₁+r₂+r₃=h（定值）．
（2）理解与应用
△ABC中，∠C=90°，AB=10，AC=8，BC=6，△ABC内部是否存在一点O，点O到各边的距离相等？

（填“存在”或“不存在”），若存在，请直接写出这个距离r的值，r=

．若不存在，请说明理由．

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科目：初中数学 来源： 题型：阅读理解

阅读材料：
如图，△ABC中，AB=AC，P为底边BC上任意一点，点P到两腰的距离分别为r₁，r₂，腰上的高为h，连接AP，则S_△ARP+S_△ACP=S_△ABC，即：

AB•r₁+

AC•r₂=

AC•h，∴r₁+r₂=h（定值）．
（1）理解与应用：
如图，在边长为3的正方形ABCD中，点E为对角线BD上的一点，且BE=BC，F为CE上一点，FM⊥BC于M，FN⊥BD于N，试利用上述结论求出FM+FN的长．
（2）类比与推理：
如果把“等腰三角形”改成“等边三角形”，那么P的位置可以由“在底边上任一点”放宽为“在三角形内任一点”，即：
已知等边△ABC内任意一点P到各边的距离分别为r₁，r₂，r₃，等边△ABC的高为h，试证明r₁+r₂+r₃=h（定值）．
（3）拓展与延伸：
若正n边形A₁A₂…A_n，内部任意一点P到各边的距离为r₁r₂…r_n，请问r₁+r₂+…+r_n是否为定值？如果是，请合理猜测出这个定值．