Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，△ABC的一边AB在x轴上，∠ABC=90°，点C（4，8）在第一象限内，AC与y轴交于点E，抛物线经过A、B两点，与y轴交于点D（0，﹣6）．

（1）请直接写出抛物线的表达式；

（2）点P是x轴下方抛物线上一动点，设点P的横坐标为m，△PAC的面积为S，试求出S与m的函数关系式；

（3）若点M是x轴正半轴上一点（不与点A重合），抛物线上是否存在点N，使∠CAN=∠MAN．若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）N

【解析】

（1）先确定B（4，0），再利用待定系数法求出抛物线解析式为y= ；
（2）先利用待定系数法求得直线AC的解析式为y= ，作PQ∥y轴交AC于Q，设P（m，），则Q（m，），则PQ= ，然后根据三角形面积公式，利用S=S△PAQ+S△PCQ计算即可；
（3）如图2，当点M在x的正半轴，AN交BC于F，作FH⊥AC于H，根据角平分线的性质得FH=FB，易得AH=AB=6，再利用∠ACB的余弦可求出CF=5，则F（4，3），接着求出直线AF的解析式为y= x+1，于是通过解方程组得N点坐标为（）

（1）∵BC⊥x轴，点C（4，8），
∴B（4，0），
把B（4，0），D（0，-6）代入y=得，解得

∴抛物线解析式为

（2）设直线AC的解析式为y=px+q，
把A（-2，0），C（4，8）代入得，解得

∴直线AC的解析式为

如图1，作PQ∥y轴交AC于Q，

设，则Q

（3）图2，当点M在x的正半轴，AN交BC于F，作FH⊥AC于H，则FH=FB，
易得AH=AB=6，

∴F（4，3），

易得直线AF的解析式为

解方程组得或

∴N点坐标为