【题目】如图1,在四边形ABCD的边BC的延长线上取一点E,在直线BC的同侧作一个以CE为底的等腰△CEF,且满足∠B+∠F=180°,则称三角形CEF为四边形ABCD的“伴随三角形”.
(1)如图1,若△CEF是正方形ABCD的“伴随三角形”:
①连接AC,则∠ACF= ;
②若CE=2BC,连接AE交CF于H,求证:H是CF的中点;
(2)如图2,若△CEF是菱形ABCD的“伴随三角形”,∠B=60°,M是线段AE的中点,连接DM、FM,猜想并证明DM与FM的位置与数量关系.
【答案】(1)①90°;②见解析;(2)DM=FM,理由见解析
【解析】
(1)①连接AC,利用正方形的性质得到∠ACB=45°,再利用等腰直角三角形的性质得到∠FCE=45°,然后利用∠ACF+∠ACB+∠FCE=180°进行求解即可;
②设BC=a,则CE=2a,利用等腰直角三角形的判定及性质得到AC=EF,然后利用全等三角形的判定及性质以及中点的定义进行求证即可;
(2)延长DM交BE于G,连接FM,FG,根据△CEF是菱形ABCD的“伴随三角形”,∠B=60°,得到△CEF是等腰三角形,且∠CFE=120°,然后利用全等三角形的判定及性质进行求解即可.
解:(1)①连接AC,
∵四边形ABCD是正方形
∴∠ACB=45°,∠B=90°,
∵△CEF是正方形ABCD的“伴随三角形”,
∴∠B+∠F=180°,
∴∠F=90°,
又∵△CFE是等腰三角形,
∴∠FCE=45°,
∴∠ACF=180°﹣∠FCE﹣∠ACB=90°,
故答案为:90°;
②连接AE,交CF于点H,
∵CE=2BC,
∴设BC=a,CE=2a,
∵∠B=90°,AB=BC=a,
∴AC=a,
∵∠F=90°,CE=2a,
∴EF=FC=a,
∵∠ACF=∠F=90°,
∴AC∥EF,
∴△ACH∽△EFH,
∴,
∴CH=HF,
∴点H是CF的中点,
(2)DM=FM,FM⊥DM
理由如下:如图,延长DM交CE于点P,连接DF,FP,
∵四边形ABCD是菱形
∴AB=BC=CD=AD,AB∥CD,AD∥BC,
∴∠B=∠DCP=60°,∠DAM=∠PEM,
∵若△CEF是菱形ABCD的“伴随三角形”,∠B=60°,
∴∠CFE+∠B=180°,
∴∠CFE=120°,且△CEF是等腰三角形,
∴∠ECF=30°=∠FEC,CF=EF,
∴∠DCF=30°
∵∠DAM=∠PEM,AM=ME,∠AMD=∠PME,
∴△ADM≌△EPM(ASA),
∴AD=PE,DM=MP,
∴CD=PE,且CF=EF,∠DCF=∠FEC=30°,
∴△CDF≌△EPF(SAS),
∴DF=PF,∠DFC=∠PFE,
∵∠PFE+∠CFP=∠CFE=120°,
∴∠DFC+∠CFP=120°=∠DFP,且DF=FP,DM=PM,
∴FM⊥DM,∠FDM=30°,
∴DM=FM.
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【题目】如图,在平面直角坐标系内,点的坐标为(0,24),经过原点的直线
与经过点
的直线
相交于点
,点
的坐标为(18,6).
(1)求直线,
对应的函数表达式;
(2)点为线段
上一动点(点
不与点
重合),作
轴交直线
于点
,设点
的纵坐标为
,求点
的坐标(用含
的代数式表示)
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【题目】我国古代伟大的数学家刘徽将勾股形(古人称直角三角形为勾股形)分割成一个正方形和两对全等的直角三角形,得到一个恒等式.后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理,如图所示的矩形由两个这样的图形拼成,若a=3,b=4,则该矩形的面积为( )
A. 20 B. 24 C. D.
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【题目】如图,矩形中,
,
,点
、
分别在边
,
上,且
,连接
,将
对折,点
落在直线
上的点
处,得折痕
;将
对折,点
落在直线
上的点
处,得折痕
,当
,
分别在边
,
上时.若令
的面积为
,
的长度为
,则
关于
的函数解析式是( )
A.
B.
C.
D.
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【题目】草莓是云南多地盛产的一种水果,今年某水果销售店在草莓销售旺季,试销售成本为每千克元的草莓,规定试销期间销售单价不低于成本单价,也不高于每千克
元,经试销发现,销售量
(千克)与销售单价
(元)符合一次函数关系,如图是
与
的函数关系图象.
求
与
的函数解析式(也称关系式);
设该水果销售店试销草莓获得的利润为
元,求
的最大值.
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【题目】我们知道:x2﹣6x=(x2﹣6x+9)﹣9=(x﹣3)2﹣9;﹣x2+10=﹣(x2﹣10x+25)+25=﹣(x﹣5)2+25,这一种方法称为配方法,利用配方法请解以下各题:
(1)按上面材料提示的方法填空:a2﹣4a= = .﹣a2+12a= = .
(2)探究:当a取不同的实数时在得到的代数式a2﹣4a的值中是否存在最小值?请说明理由.
(3)应用:如图.已知线段AB=6,M是AB上的一个动点,设AM=x,以AM为一边作正方形AMND,再以MB、MN为一组邻边作长方形MBCN.问:当点M在AB上运动时,长方形MBCN的面积是否存在最大值?若存在,请求出这个最大值;否则请说明理由.
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【题目】如图:在平面直角坐标系中,已知的三个顶点的坐标分别为
,
,
.
(1)将向上平移
个单位长度,再向左平移
个单位长度,得到
,请画出
(点
,
,
的对应点分别为
,
,
)
(2)请画出与关于
轴对称的
(点
,
,
的对应点分别为
,
,
)
(3)请写出,
的坐标
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