Question

20．在平行四边形ABCD中，将△ABC沿AC对折，使点B落在B′处，AB′和CD相交
于点O．
（1）求证：OA=OC．
（2）过O点作OE⊥AC交AB于E点，连接CE，求证：四边形OAEC是菱形．

Answer 1

分析 （1）由在平行四边形ABCD中，将△ABC沿AC对折，使点B落在B′处，即可求得∠DCA=∠B′AC，则可证得OA=OC；
（2）根据折叠的性质和三角形的三线合一的性质得到AC与OE互相垂直平分即可证得结论．

解答 证明：（1）∵△AB′C是由△ABC沿AC对折得到的图形，
∴∠BAC=∠B′AC，
∵在平行四边形ABCD中，AB∥CD，
∴∠BAC=∠DCA，
∴∠DCA=∠B′AC，
∴OA=OC；

（2）O点作OE⊥AC交AB于E点，连接CE，

∵∠BAC=∠B′AC，OE⊥AC，
∴AC垂直平分OE，
∵OA=OC，
∴OE垂直平分AC，
∴AC与OE互相垂直平分，
∴四边形OCEA是菱形．

点评 此题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定与性质以及折叠的性质．此题难度不大，注意掌握折叠前后图形的对应关系，注意掌握数形结合思想的应用．