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【题目】如图:在△ABC中,∠C=90°,AC=BC,过点C在△ABC外作直线MNAMMNMBNMNN

(1)MN=AM+BN成立吗?为什么?

(2)若过点C在△ABC内作直线MNAMMNMBNMNN,则AMBNMN之间有什么关系?请说明理由.

【答案】1MN=AM+BN成立,理由见解析;(2MNBNAM,理由见解析.

【解析】

1)利用同角的余角相等证明∠MAC=∠NCB,由∠AMC=∠CNB90°ACBC,可证AMC≌△CNB,从而有AMCNMCBN,即可得出结论;

2)类似于(1)的方法,证明AMC≌△CNB,从而有AMCNMCBN,可推出AMBNMN之间的数量关系.

解:(1MN=AM+BN成立;

理由:∵AMMNBNMN

∴∠AMC=∠CNB90°

∵∠ACB90°

∴∠MAC+∠ACM90°,∠NCB+∠ACM90°

∴∠MAC=∠NCB

AMCCNB中,

∴△AMC≌△CNBAAS),

AMCNMCBN

MNCNMC

MNAMBN

2MNBNAM

理由:∵AMMNBNMN

∴∠AMC=∠CNB90°

∵∠ACB90°

∴∠MAC+∠ACM90°,∠NCB+∠ACM90°

∴∠MAC=∠NCB

在△AMC和△CNB中,

∴△AMC≌△CNBAAS),

AMCNMCBN

MNMCCN

MNBNAM

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