Question

17．已知抛物线y=x²+（m+1）x+m-1与x轴交于A，B两点，顶点为C，则△ABC面积的最小值为1．

Answer 1

分析 根据一元二次方程根与系数的关系，可以求得AB=$\sqrt{（m+1）^{2}-4m+4}=\sqrt{{m}^{2}-2m+5}$，再根据顶点的纵坐标公式求得点C的纵坐标，显然要求三角形ABC的面积的最小值，即求m²-2m+5的最小值，从而得解．

解答 解：
设抛物线与x轴交于A（x₁，0），B（x₂，0），令y=0，可得x²+（m+1）x+m-1=0，
∴x₁+x₂=-（m+1），x₁x₂=m-1，
∴AB=|x₁-x₂|=$\sqrt{（m+1）^{2}-4m+4}=\sqrt{{m}^{2}-2m+5}$，点C的纵坐标是-$\frac{1}{4}$（m²-2m+5），
∴三角形ABC的面积=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{{m}^{2}-2m+5}$×$\frac{1}{4}$（m²-2m+5），
又∵m²-2m+5的最小值是4，
∴三角形ABC的面积的最小值是1．
故答案为1．

点评 此题考查了抛物线与x轴两交点间距离的求法及抛物线顶点坐标的求法，将问题转化为完全平方式是解题的关键．