Question

【题目】如图1，已知抛物线y=ax2+bx上有两点A、C，分别过A、C作x轴的垂线，垂足分别为点B、点D，OC与AB相交于点E．已知点A（1，3），且△AOB≌△OCD．

（1）求此抛物线的解析式；

（2）点P为线段OC上一动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点F，当四边形AEPF为平行四边形时，求点P坐标；

（3）如图2，若△AOB沿AC方向由A→C平移得到△A′O′B′，在平移过程中，△AOB与△OCD的重叠部分的面积记为S，试探究S是否存在最大值？若存在，求出A′的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】(1) y＝x 2＋x; (2) （2，） ;(3)见解析.

【解析】分析：（1）由全等三角形的性质得到OB=CD，AB=OD．即可得到C的坐标，把A、C的坐标代入，解方程即可得到结论；

（2）设直线OC的解析式为：y=kx，把C的坐标代入即可得到k的值，从而得到E的坐标．设点P（m，m），则F(m，m2＋m ) ．要使四边形AEPF为平行四边形 ，则AE=PF ，解方程即可得到结论；

（3）设A′B′交x轴于T，交OC于Q，A′O′交x轴于K，交OC于R．求得直线AC的解析式为y＝-x+4，可设点A′的横坐标为t，则点A′(t，－t +4 )，点Q的坐标为(t，) ．

过点R作RF⊥A′B′于点F，由相似三角形的性质可求出RF的长，由△A′KT∽△A′O′B′可求出KT的长，进而得到A′Q的长，由S四边形RKTQ＝S△A′KT－S△A′RQ得到S是关于t的二次函数，配方即可得出结论．

详解：（1）∵△AOB≌△OCD，∴OB=CD，AB=OD．

∵A（1，3），∴C（3，1），

∴，

解得：a＝，b＝，∴抛物线的解析式为y＝x 2＋x，

（2）设直线OC的解析式为：y=kx，则1=3k ，∴k=，∴E（1，）．

设点P（m，m），则F(m，m2＋m ) ．

要使四边形AEPF为平行四边形 ，则AE=PF ∴3-=m2＋m-m，

∴m=1（不合题意，舍去）或m=2 ∴P（2，），∴当四边形AEPF为平行四边形时，P点的坐标为（2，）．

（3）设A′B′交x轴于T，交OC于Q，A′O′交x轴于K，交OC于R．求得直线AC的解析式为y＝-x+4，可设点A′的横坐标为t，则点A′(t，－t +4 )，∴点Q的坐标为(t，) ．

过点R作RF⊥A′B′于点F．

∵△A′RQ∽△AOE，∴，∴RF＝＝，

由△A′KT∽△A′O′B′得，∴KT＝A′T＝ (4－t)，A′Q＝(－t+4)－＝，

∴S四边形RKTQ＝S△A′KT－S△A′RQ＝KT·A′T－A′Q·RF＝·(4－t)－· ，

＝=，∴当t=2时，S最大，∴A′(2，2) ．