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含30°角的直角三角板ABC中,∠A=30°.将其绕直角顶点C顺时针旋转α角(0°<α<120°且α≠90°),得到Rt△A'B'C,A'C边与AB所在直线交于点D,过点D作DEA'B'交CB'边于点E,连接BE.
(1)如图1,当A'B'边经过点B时,α=______°;
(2)在三角板旋转的过程中,若∠CBD的度数是∠CBE度数的m倍,猜想m的值并证明你的结论;
(3)设BC=1,AD=x,△BDE的面积为S,以点E为圆心,EB为半径作⊙E,当S=
1
3
S△ABC
时,求AD的长,并判断此时直线A'C与⊙E的位置关系.
(1)当A′B′过点B时,α=60°;

(2)猜想:①如图1,点D在AB边上时,m=2;
②如图2,点D在AB的延长线上时,m=4.
证明:①当0°<α<90°时,点D在AB边上(如图1).
∵DEA′B′,
CD
CA′
=
CE
CB′

由旋转性质可知,CA=CA′,CB=CB′,∠ACD=∠BCE.
CD
CA
=
CE
CB

∴△CAD△CBE.
∴∠A=∠CBE=30°.
∵点D在AB边上,∠CBD=60°,
∴∠CBD=2∠CBE,即m=2.
②当90°<α<120°时,点D在AB的延长线上(如图2).
与①同理可得∠A=∠CBE=30°.
∵点D在AB的延长线上,∠CBD=180°-∠CBA=120°,
∴∠CBD=4∠CBE,
即m=4;

(3)在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,BC=1,
∴AB=2,AC=
3
S△ABC=
3
2

由△CAD△CBE得
AD
AC
=
BE
BC

∵AD=x,
x
3
=
BE
1
BE=
3
3
x

①当点D在AB边上时,AD=x,BD=AB-AD=2-x,∠DBE=90°.
此时,S=S△BDE=
1
2
BD×BE=
1
2
(2-x)×
3
x
3
=
-
3
x2+2
3
x
6

当S=
1
3
S△ABC
时,
-
3
x2+2
3
x
6
=
3
6

整理,得x2-2x+1=0.
解得x1=x2=1,即AD=1.
此时D为AB中点,∠DCB=60°,∠BCE=30°=∠CBE.(如图3)

∴EC=EB.
∵∠A′CB′=90°,点E在CB′边上,
∴圆心E到A′C的距离EC等于⊙E的半径EB.
∴直线A′C与⊙E相切.
②当点D在AB的延长线上时,AD=x,BD=x-2,∠DBE=90°.(如图2).S=S△BDE=
1
2
BD×BE=
1
2
(x-2)×
3
x
3
=
3
x2-2
3
x
6

当S=
1
3
S△ABC
时,
3
x2-2
3
x
6
=
3
6

整理,得x2-2x-1=0.
解得x1=1+
2
x2=1-
2
(负值,舍去).
AD=1+
2

此时∠BCE=α,而90°<α<120°,∠CBE=30°,
∴∠CBE<∠BCE.
∴EC<EB,即圆心E到A′C的距离EC小于⊙E的半径EB.
∴直线A′C与⊙E相交.
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5
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A.
2
3
3
B.
4
3
3
C.
2
3
5
D.
4
3
5

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