Question

19．如图，在直角坐标系中，点O是坐标原点，四边形OABC是平行四边形，点A的坐标为（14，0），点B的坐标为（18，4$\sqrt{3}$）
（1）写出点C的坐标（4，4$\sqrt{3}$）
（2）动点P从O出发，沿射线OA方向以每秒2个单位的速度运动，点Q从B出发以每秒1个单位的速度向点C运动，它们同时出发，当点Q到达点C时另一点也停止运动，设运动时间为t秒，求t为何值时，以P、Q、A、B为顶点的四边形是平行四边形．

Answer 1

分析 （1）延长BC交y轴于点D，则可求得BD，结合平行四边形的性质可求得BC=OA，可求得CD，且BC∥OA，可求得C点坐标；
（2）分两种情况，当P点在线段OA上时，此时有AP∥BQ，且AP=BQ，可求得t的值；当P点在OA的延长线上时，此时由BQ=PA，可求得t的值．

解答 解：
（1）延长BC交y轴于点D，如图1，

∵四边形OABC为平行四边形，
∴BC∥OA，且BC=OA，
∵A（14，0），B（18，4$\sqrt{3}$），
∴BC=OA=14，BD=18，OD=4$\sqrt{3}$，
∴CD=BD-BC=18-14=4，
∴C点坐标为（4，4$\sqrt{3}$），
故答案为：（4，4$\sqrt{3}$）；
（2）当点P在线段OA上时，如图2，

∵BC=14，
∴0≤t≤14
由题意可知OP=2t，BQ=t，
又OA=14，
∴AP=OA-OP=14-2t，
当四边形ABPQ为平行四边形时，则有AP=BQ，即14-2t=t，
解得t=$\frac{14}{3}$；
当点P在线段OA的延长线上时，如图3，

同上可知OP=2t，OA=14，BQ=t，
∴AP=OP-OA=2t-14，
∵四边形APBQ为平行四边形，
∴AP=BQ，即2t-14=t，
解得t=14，即Q与C点重合时，
综上可知当t为$\frac{14}{3}$或14时，以P、Q、A、B为顶点的四边形是平行四边形．

点评 本题主要考查平行四边形的性质和判定及点的坐标等知识点．掌握平行四边形的对边平行且相等是解题的关键，在（2）中注意按P点的位置分两种情况讨论．本题知识点不多，难度不大，属于基础题．化“动为静”是解决运动类问题的基本思路，即用t表示出线段的长度，从而得到关于t的方程求解．