【题目】如图，
是等边三角形，点
在边
上（ “点D不与
重合），点
是射线
上的一个动点（点不与点
重合），连接
，以为边作作等边三角形
，连接
.
（1）如图1，当的延长线与
的延长线相交，且
在直线的同侧时，过点作
，
交于点
，求证：
；
（2）如图2，当反向延长线与的反向延长线相交，且在直线的同侧时，求证：
；
（3）如图3， 当反向延长线与线段相交，且在直线的异侧时，猜想
、
、之间的等量关系，并说明理由.
【答案】（1）证明见详解；（2）证明见详解；（3）
=
+
，理由见详解.
【解析】
(1)由
是等边三角形，
，得∠CDG=∠A=60°，∠ACB=60°，
是等边三角形，易证 GDE CDF(SAS)，即可得到结论；
(2)过点D作DG∥AB交BC于点G，易证 GDE CDF(SAS)，即可得到结论；
(3)过点D作DG∥AB交BC于点G，易证 GDE CDF(SAS)，即可得到结论.
（1）∵是等边三角形，，
∴∠CDG=∠A=60°，∠ACB=60°，
∴是等边三角形，
∴DG=DC.
∵
是等边三角形，
∴DE=DF，∠EDF=60°，
∴∠CDG-∠GDF=∠EDF-∠GDF，即：∠GDE=∠CDF，
在 GDE和 CDF中，
∵
，
∴ GDE CDF(SAS)，
∴
；
（2）过点D作DG∥AB交BC于点G，如图2，
∵是等边三角形，，
∴∠CDG=∠A=60°，∠ACB=60°，
∴是等边三角形，
∴DG=DC.
∵是等边三角形，
∴DE=DF，∠EDF=60°，
∴∠CDG-∠CDE=∠EDF-∠CDE，即：∠GDE=∠CDF，
在 GDE和 CDF中，
∵，
∴ GDE CDF(SAS)，
∴
∴
（3）=+，理由如下：
过点D作DG∥AB交BC于点G，如图3，
∵是等边三角形，，
∴∠CDG=∠A=60°，∠ACB=60°，
∴是等边三角形，
∴DG=DC=GC.
∵是等边三角形，
∴DE=DF，∠EDF=60°，
∴∠CDG+∠CDE=∠EDF+∠CDE，即：∠GDE=∠CDF，
在 GDE和 CDF中，
∵，
∴ GDE CDF(SAS)，
∴=GC+CE=CD+CE.
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【题目】如图所示，△ABC是等腰三角形，AB=AC，点D，E，F分别在AB，BC，AC边上，且BD=CE，BE=CF．
（1）求证：△DEF是等腰三角形；
（2）猜想：当∠A满足什么条件时，△DEF是等边三角形？并说明理由．
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【题目】已知命题：①两边和第三边上的中线对应相等的两个三角形全等；②腰长和面积对应相等的两个等腰三角形全等，则下列判断正确的是（ ）
A.①，②都是真命题B.①是真命题，②是假命题
C.①是假命题，②是真命题D.①，②都是假命题
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【题目】列方程解应用题：
云阳县多集合生态农业有限公司在2018年种植玉米的平均亩产量为0. 75吨，该公司总结了种植玉米的经验，2019年该公司种植玉米的情况是：种植面积比2018年减少了10%、平均亩产量比2018年增加了0. 2吨，总产量比2018年增加了8. 4吨.
（1）求2018年该公司种植玉米的面积；
（2）若2019年该公司种植玉米的人数比2018年少了12人，人均种植面积比2018年增加了17%，求2019年该公司种植玉米的人数.
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【题目】家用电灭蚊器的发热部分使用了PTC发热材料，它的电阻R（kΩ）随温度t（℃）（在一定范围内）变化的大致图象如图所示．通电后，发热材料的温度在由室温10℃上升到30℃的过程中，电阻与温度成反比例关系，且在温度达到30℃时，电阻下降到最小值；随后电阻随温度升高而增加，温度每上升1℃，电阻增加
kΩ．
（1）求当10≤t≤30时，R和t之间的关系式；
（2）求温度在30℃时电阻R的值；并求出t≥30时，R和t之间的关系式；
（3）家用电灭蚊器在使用过程中，温度在什么范围内时，发热材料的电阻不超过6 kΩ？
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【题目】为奖励优秀学生，某校准备购买一批文具袋和圆规作为奖品，已知购买1个文具袋和2个圆规需21元，购买2个文具袋和3个圆规需39元。
（1）求文具袋和圆规的单价。
（2）学校准备购买文具袋20个，圆规若干，文具店给出两种优惠方案：
方案一：购买一个文具袋还送1个圆规。
方案二：购买圆规10个以上时，超出10个的部分按原价的八折优惠，文具袋不打折.
①设购买面规m个，则选择方案一的总费用为______，选择方案二的总费用为______.
②若学校购买圆规100个，则选择哪种方案更合算？请说明理由.
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【题目】在如图所示的网格中有四条线段AB、CD、EF、GH（线段端点在格点上），
⑴选取其中三条线段，使得这三条线段能围成一个直角三角形．
答：选取的三条线段为 ．
⑵只变动其中两条线段的位置，在原图中画出一个满足上题的直角三角形（顶点仍在格点，并标上必要的字母）．
答：画出的直角三角形为△ ．
⑶所画直角三角形的面积为 ．
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【题目】如图1所示，将一个边长为2的正方形ABCD和一个长为2、宽为1的长方形CEFD拼在一起，构成一个大的长方形ABEF.现将小长方形CEFD绕点C顺时针旋转至
,旋转角为
.
（1）当点
恰好落在EF边上时，求旋转角的值；
（2）如图2，G为BC的中点，且00＜＜900，求证：
；
（3）小长方形CEFD绕点C顺时针旋转一周的过程中，
与
能否全等？若能，直接写出旋转角的值；若不能，说明理由.
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