Question

【题目】如图，在四边形ABCD中，∠BAD=∠CDA=90°，AB=1，CD=2，过A，B，D三点的⊙O分别交BC，CD于点E，M，且CE=1，下列结论：①DM=CM；②；③⊙O的直径为2；④AE=AD．其中正确的结论有_____（填序号）．

Answer 1

【答案】①②③④

【解析】

连接BD，BM，AM，EM，DE，由90度角所对的弦为直径，得到BD为圆的直径，再利用直径所对的圆周角为直角，得到∠BMD为直角，利用三个角为直角的四边形为矩形得到ADMB为矩形，利用矩形的对边相等得到AB=DM=1，而CD=2，得到CM=1，可得出M为DC的中点，即DM=CM，故选项①正确；由AB与MC平行且相等，利用一组对边平行且相等的四边形为平行四边形，得到四边形AMCB为平行四边形，可得出BE∥AM，由圆内平行线所夹的弧相等，得出，故选项②正确；由AM=BC，BD=AM，等量代换得到BC=BD，由BD为圆的直径，利用直径所对的圆周角为直角，得到△DEC为直角三角形，由DC与EC的长，利用勾股定理求出DE的长，设BE=x，则BD=BC=BE+EC=x+1，在Rt△BDE中，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，确定出BC的长，即为BD的长，确定出圆的直径，即可对于选项③作出判断；在Rt△DEC中，由M为CD的中点，利用斜边上的中线等于斜边的一半得到DM与EM相等，都等于DC的一半，用HL定理证明Rt△AEM≌Rt△ADM，即可对于选项④作出判断．

解：(1)连接BD，BM，AM，EM，DE，

∵∠BAD=90°，

∴BD为圆的直径，

∴∠BMD=90°，

∴∠BAD=∠CDA=∠BMD=90°，

∴四边形ADMB矩形，

∴AB=DM=1，

又∵CD=2，

∴CM=1

∴DM=CM，

故①正确。

∵AB∥MC，AB=MC，

∴四边形AMCB是平行四边形，

∴BE∥AM，

∴，

故②正确。

∵AM=BC，又BD=AM，

∴BD=BC，

∵BD是直径，

∴∠BED=90°，即∠DEC=90°，

又CE=1，CD=2，根据勾股定理得：DE==，

设BE=x，BD=BC=BE+EC=x+1，

在Rt△BDE中，根据勾股定理得：BE2+DE2=BD2，即x2+=(x+1)2，

解得：x=1，

∴BD=2，

故③正确；

∵，

∴AB=EM=1，

∴DM=EM，

∵∠ADM=90，

∴AM是直径，

∴∠AEM=∠ADM=90，

在Rt△AEM和Rt△ADM中，

，

∴Rt△AEM≌Rt△ADM（HL），

故选项④正确；

故答案为：①②③④