Question

6．如图，等边△ABC和等边△ADE中，AB=2$\sqrt{7}$，AD=2$\sqrt{3}$，连CE，BE，当∠AEC=150°时，则BE=4．

Answer 1

分析 如作CM⊥AE于M，设CM=a，在RT△ACM利用勾股定理求出a，再求出CE，由△CAE≌△BAD，得到EC=BD，在RT△EBD中利用勾股定理即可求出BE．

解答 解：如作CM⊥AE于M，设CM=a，
∵△ABC、△ADE都是等边三角形，
∴AC=AB=2$\sqrt{7}$，AE=AD=DE=2$\sqrt{3}$，∠CAB=∠EAD=∠EDA=60°，
∴∠CAE=∠BAD，
在△CAE和△BAD中，
$\left\{\begin{array}{l}{CA=BA}\\{∠CAE=∠BAD}\\{EA=DA}\end{array}\right.$，
∴△CAE≌△BAD，
∴EC=BD，∴∠AEC=∠ADB=150°，
∴∠EDB=90°，
∵∠AEC=150°，
∴∠CEM=180°-∠AEC=30°，
∴EM=$\sqrt{3}$a，
在RT△ACM中，∵AC²=CM²+AM²，
∴28=a²+（2$\sqrt{3}$+$\sqrt{3}$a）²
a=1（或-4舍弃），
∴EC=BD=2CM=2，
在RT△EBD中，∵DE=2$\sqrt{3}$，BD=2，
∴EB=$\sqrt{D{E}^{2}+D{B}^{2}}$=$\sqrt{（2\sqrt{3}）^{2}+{2}^{2}}$=4．
故答案为4．

点评 本题考查全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质、直角三角形中30度角的性质，解题的关键是利用150°构造30°的直角三角形，求出相应的线段，属于中考常考题型．