【题目】在平面直角坐标系中,直线与
轴、
轴分别交于点B、 A,点D、E分别是AO、AB的中点,连接DE,点P从点D出发,沿DE方向匀速运动,速度为1cm/s;与此同时,点Q从点B出发,沿BA方向匀速运动,速度为2cm/s,当点P停止运动时,点Q也停止运动.连接PQ,设运动时间为
.
(1)分别写出点P和Q坐标(用含t的代数式表示);
(2)①当点Q在BE之间运动时,设五边形PQBOD的面积为(cm2),求y与t之间的函数关系式;
②在①的情况下,是否存在某一时刻t,使PQ分四边形BODE两部分的面积之比为S△PQE:S五边形PQBOD=1:29?若存在,求出此时t的值;若不存在,请说明理由;
(3)以P为圆心、PQ长为半径作圆,请问:在整个运动过程中,当t为何值时,⊙P能与△ABO的一边相切?
【答案】(1)P(t,3),Q(8-t,
t);
(2)① ②t=2,理由见解析
(3)当t=,
,
时,⊙P可与△ABC的一边相切.
【解析】试题分析:(1)利用直线的解析式首先求得直线与两坐标轴的交点坐标,然后利用三角形的中位线定理求得点P的纵坐标和点P的横坐标即可;(2)①由P作PH⊥AB得到△PHE∽△AOB,利用相似三角形对应边的比相等表示出PH,然后根据三角形的面积公式求解即可;②利用S△PQE:S五边形PQBOD=1:29列出方程求得t值即可;(3)分当⊙P与OB相切时、当⊙P与OA相切时和当⊙P与AB相切时三种情况分类讨论得到答案.
试题解析:
(1)P(t,3),Q(8-t,
t);
(2)
①如图1,P做PH⊥AB
△PHE∽△AOB
∴
∴
S△PEQ =
S四边形DOBE= ×3=18
②×18 解得t=-
(舍),t=2
(3)
当⊙P与OB相切时,分别过点P、Q作PF、QG垂直于x轴,垂足为F、G,再过点Q作QH⊥PF于点H,如图2构造直角△PHQ,
此时,△BQG∽△BAO,BQ=2t,得QG=HF=t,BG=
t,
在Rt△PHQ中,PH2+HQ2=PQ2,得(3-t)2+(8-t-
t)2=32,
解得: t1=4(舍),t2=
当⊙P与OA相切时,分别过点P、Q作PF、QG垂直于x轴,垂足为F、G,再过点Q作QH⊥PF于点H,如图3构造直角△PHQ,此时,△BQG∽△BAO,BQ=2t,得QG=HF=t,BG=
t,
在Rt△PHQ中,PH2+HQ2=PQ2,得(3-t)2+(8-t-
t)2=t2,
解得: t1=>4(舍),t2=
当⊙P与AB相切时,如图4,此时, PE=4-t,EQ=2t-5,
由△EPQ∽△BAO,得,∴
,解得: t=
∴当t=,
,
时,⊙P可与△ABC的一边相切.
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【题目】如图,在等腰直角三角形ABC中,∠ABC=90°,D为AC边上的中点,过D点作DE⊥DF,交AB于E,交BC为F,
(1)求证:BE=CF;
(2)若AE=4,FC=3,求EF的长.
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【题目】若关于x的方程(m﹣2)x2﹣2x+1=0有两个不等的实根,则m的取值范围是( )
A. m<3B. m≤3C. m<3且m≠2D. m≤3且m≠2
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【题目】鸡兔同笼是我国古代著名趣题之一.大约在1500年前,《孙子算经》中就记载了这个有趣的问题,书中是这样叙述的:“今有雉兔同笼,上有三十五头,下有九十四足,问雉兔各几何?”这四句话的意思是:有若干只鸡兔同在一个笼子里,从上面数,有35个头;从下面数有94只脚.问笼中各有几只鸡和兔?
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【题目】阅读下列解方程组的方法,然后解决有关问题.
解方程组
我们如果直接考虑消元,那么非常麻烦,而采用下列解法则轻而易举.
①﹣②,得2x+2y=2,即x+y=1 ③
③×16,得16x+16y=16 ④
②﹣④得x=﹣1,从而y=2
所以原方程组的解是
(1)请你用上述方法解方程组
(2)试猜测关于x、y的二元一次方程组 (a≠b)的解是什么?并加以验证.
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【题目】A超市在一次周年庆典当天开展购物抽奖活动,凡当天在该超市购物的顾客,均有一次抽奖机会,抽奖规则如下:将如图所示的图形转盘平均分成四个扇形,分别标上1,3,5,7四个数字,抽奖者连续转动转盘两次,当每次停止后指针所指扇形内的数为每次所得数(若指针指在分界处重转),当两次所得数字之和为2时,返现金20元,当两次所得数字之和为4时,返现金10元,当两次所得数字之和为6时,返现金5元.
(1)试用树状图或列表的方法,表示出王大妈这次抽奖中所有可能出现的结果.
(2)试求王大妈在参加这次抽奖活动中,能获得返现金的概率是多少?
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