Question

8．如图，EB是直径，O是圆心，CB，CD切半圆于B，D，CD交BE延长线于点A，若BC=6，AD=2AE，求半圆的面积．

Answer 1

分析 连接DE、BD，根据切线的性质得出DC=BC=6，∠ADE=∠ABD，证得△ADE∽△ABD，根据相似三角形的性质得出AB=2AD，设AD=x，则AB=2x，AC=AD+DC=x+6，然后根据勾股定理得出关于x的方程，求得AD的长，即可求得AE和AB，从而求得直径，根据圆的面积公式求得即可．

解答 解：连接DE、BD，
∵CB，CD切半圆于B，D，
∴DC=BC=6，
∴∠ADE=∠ABD，
∵∠DAE=∠BAD，
∴△ADE∽△ABD，
∴$\frac{AE}{AD}$=$\frac{AD}{AB}$，
∵AD=2AE，
∴$\frac{AD}{AB}$=$\frac{1}{2}$，
∴AB=2AD，
设AD=x，则AB=2x，
∴AC=AD+DC=x+6，
∵CB切半圆于B，EB是直径，
∴AB⊥BC，
∴AC²=AB²+BC²，即（x+6）²=（2x）²+6²，
解得x₁=4，x₂=0（舍去），
∴AE=2，AB=8，
∴BE=AB-AE=8-2=6，
∴圆的半径为3，
∴半圆的面积=$\frac{1}{2}$π×3²=$\frac{9}{2}$π．

点评 本题考查了切线的性质，三角形相似的判定和性质，勾股定理的应用，作出辅助线，构建相似三角形是解题的关键．