Question

3．在直角坐标系xOy中，抛物线y=-$\frac{4}{3}$x²+$\frac{8}{3}$x+4与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C连接AC，BC．
（1）求∠ACO的正弦值．
（2）如图1，D为第一象限内抛物线上一点，记点D横坐标为m，作DE∥AC交BC于点E，DH∥y轴交于BC于点H，请用含m的代数式表示线段DE的长，并求出当CH：BH=2：1时线段DE的长．
（3）如图2，P为x轴上一动点（P不与点A、B重合），作PM∥BC交直线AC于点M，连接CP，是否存在点P使S_△CPM=2？若存在，请直接写出点P的坐标，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）利用抛物线解析式求出点A、C坐标，求出线段OA、AC长度，即可求出∠ACO的正弦值；
（2）首先设出点D坐标，写出点H坐标，利用相似三角形比例关系可求出线段DE的长，根据CH：BH=2：1，求出线段DE的长；
（3）设出点P坐标，写出直线PM解析式，表示出点M、及与y轴交点坐标，利用三角形面积求出点P坐标．

解答 解（1）令x=0，y=4，
∴C（0，4），OC=4，
令y=0，x₁=-1，x₂=3，
∴A（-1，0），B（3，0），OA=1，
∴AC=$\sqrt{16+1}$=$\sqrt{17}$，
sin∠ACO=$\frac{OA}{AC}$=$\frac{1}{\sqrt{17}}$=$\frac{\sqrt{17}}{17}$．

2）如图1，

∵DE∥AC，
∴∠1+∠2=∠3=∠4+∠5，
∵DH∥y轴，
∴∠2=∠4，
∴∠1=∠5，
∴OA：OC=EM：DM，
过点E作EM⊥DH，垂足为M，
设点D（m，-$\frac{4}{3}$m²+$\frac{8}{3}$m+4），
直线BC：y=-$\frac{4}{3}$x+4，
∴H（m，-$\frac{4}{3}$m+4），
∴DH=-$\frac{4}{3}$m²+4m，
设EM=x，则DM=4x，
∠MEH=∠B，
∴HM=$\frac{4}{3}$x，DH=$\frac{4}{3}$x+4x=$\frac{16}{3}$x，
∴x=$\frac{3DH}{16}$，
∴DE=$\sqrt{17}$x=$\frac{3\sqrt{17}DH}{16}$=$\frac{3\sqrt{17}}{16}$（-$\frac{4}{3}$m²+4m）=-$\frac{\sqrt{17}}{4}$m²+$\frac{3\sqrt{17}}{4}$m，
当CH：BH=2：1时，
延长DH至点K，则OK：KB=2：1，
OK=2，
∴m=2．
∴DE=-$\sqrt{17}$+$\frac{3\sqrt{17}}{2}$=$\frac{\sqrt{17}}{2}$．

（3）P（1，0）、（2$\sqrt{2}$+1，0）、（1-2$\sqrt{2}$，0）．
直线BC解析式为：y=-$\frac{4}{3}$x+4，
直线AC解析式为：y=4x+4，
∵作PM∥BC交直线AC于点M，
∴设PM直线解析式为y=-$\frac{4}{3}$x+b，
∴P（$\frac{3b}{4}$，0）
联立直线AC，求得M（$\frac{3b-12}{16}$，$\frac{3b+4}{4}$），
当点P在线段AB上时，如图：

∴S_△CPM=$\frac{1}{2}$×CN×（$\frac{3b}{4}$-$\frac{3b-12}{4}$）=2
∴$\frac{1}{2}$×（4-b）×（$\frac{3b}{4}$-$\frac{3b-12}{16}$）=2
解得：b=$\frac{4}{3}$，
∴P（1，0）；
当点P在线段AB上，
连接CP，是否存在点P使S_△CPM=2
当点P在线段AB延长线上时，如图：

同理：P（$\frac{3b}{4}$，0），M（$\frac{3b-12}{16}$，$\frac{3b+4}{4}$），
做CQ⊥y轴，Q（$\frac{3b-12}{4}$，4）
∴S_△CPM=$\frac{1}{2}$×CQ×$\frac{3b-12}{4}$=2
解得：b=$\frac{8\sqrt{2}+4}{3}$，
∴P（2$\sqrt{2}$+1，0）．
当点P在线段BA延长线上时，如图：

同理：P（$\frac{3b}{4}$，0），M（$\frac{3b-12}{16}$，$\frac{3b+4}{4}$），
∴S_△CPM=$\frac{1}{2}$×PA×（4-$\frac{3b+4}{4}$）=2
解得：b=$\frac{4-8\sqrt{2}}{3}$，
∴P（1-2$\sqrt{2}$，0）．
综上所述：P（1，0）、（2$\sqrt{2}$+1，0）、（1-2$\sqrt{2}$，0）．

点评 题目考查了二次函数综合应用，考查知识点包括一次函数二次函数解析式求解、相似三角形、三角形面积求解等知识点，题目整体较难，适合学生进行中考二次函数压轴训练．