Question

12．如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=12cm，点P从点A沿边AB向终点B以1cm/s的速度移动；同时，点Q从点B沿边BC向终点C以2cm/s的速度移动．设移动时间为t秒，解答下列问题：
（1）用含t的代数式表示：
AP=t，BP=6-t，
BQ=2t，CQ=12-2t；
（2）当t为何值时，△PBQ的面积等于8cm²？
（3）是否存在t的值，使得△DPQ的面积为31cm²？若存在，请求t的值；若不存在，请说明理由；
（4）是否存在t的值，使得△DPQ是以点D为顶点的等腰三角形？若存在，请求t的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据代数式的定义列出代数式即可．
（2）根据运动速度表示出长度和三角形面积公式列出方程．
（3）根据运动速度表示出长度和三角形面积公式列出方程；
（4）根据等腰三角形的判定求出不同情况下的解．

解答 解：（1）设移动时间为t秒，AP=t，BP=6-t，BQ=2t，CQ=12-2t；
故答案为：t；6-t；2t；12-2t；
（2）由题意得：$\frac{1}{2}$×（6-t）×2t=8
∴t=2或t=4
∴当t=2或t=4时△PBQ的面积等于8cm²；
（3）由题意得：$6×12-\frac{1}{2}×12×t-\frac{1}{2}×6×（12-2t）-$$\frac{1}{2}$×（6-t）×2t=31
可得：t²-6t+5=0，
∴t=1或t=5
∴当t=1或t=5时△DPQ的面积为31cm²，
（4）①当DP=DQ时，由题意得12²+t²=6²+（12-2t）²，
解得：${t}_{1}=8-2\sqrt{13}，{t}_{2}=8+2\sqrt{13}$（舍去）
②当DP=PQ时，由题意得12²+t²=（6-t）²+（2t）²，
解得${t}_{1}=\frac{3-3\sqrt{13}}{2}（舍去），{t}_{2}=\frac{3+3\sqrt{13}}{2}$（舍去），
③当DQ=PQ时，由题意得6²+（12-2t）²=（6-t）²+（2t）²，
解得${t}_{1}=6\sqrt{13}-18，{t}_{2}=-6\sqrt{13}-18$（舍去），
综上所述，当t为$8-2\sqrt{13}$，或$6\sqrt{13}-18$时，△PDQ等腰三角形

点评 本题考查矩形的性质，三角形的面积以及等腰三角形的判定定理，能够熟练掌握矩形的性质并能进行一些简单的计算．