Question

2．如图，已知四边形ABCD的对角线AC、BD交于点F，点E是BD上一点，且∠BCA=∠ADE，∠CAD=∠BAE．
（1）求证：△ABC∽△AED；
（2）求证：BE•AC=CD•AB．

Answer 1

分析 （1）根据已知条件和角的和差得到∠BAC=∠DAE，由于∠ACB=∠ADE，即可得到结论；
（2）根据相似三角形的性质得到$\frac{AB}{AC}=\frac{AE}{AD}$，由∠BAE=∠CAD，推出△ABE∽△ACD，由相似三角形的性质即可得到结论．

解答 证明：（1）∵∠BAE=∠DAC，∠BAC=∠BAE-∠CAE，∠DAE=∠DAC-∠CAE，
∴∠BAC=∠DAE，
∵∠ACB=∠ADE，
∴△ABC∽△AED；

（2）∵△ABC∽△AED，
∴$\frac{AB}{AC}=\frac{AE}{AD}$，
∵∠BAE=∠CAD，
∴△ABE∽△ACD，
∴$\frac{BE}{CD}=\frac{AB}{AC}$，
即：BE•AC=CD•AB．

点评 此题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．