Question

5．如图1，在△ABC中，AB=AC，点D是BC的中点，点E在AD上．
（1）求证：BE=CE；
（2）若BE的延长线交AC于点F，且BF⊥AC，垂足为F，∠BAC=45°，原题设其他条件不变，如图2，求证：①△AEF≌△BCF；②AE=2BD．

Answer 1

分析 （1）根据等腰三角形的性质求出AD⊥BC，根据线段垂直平分线性质求出即可；
（2）①求出AF=BF，根据垂直得出∠AFE=∠BFC=∠ADC=90°，求出∠FAE=∠CBF，根据ASA推出全等即可；
②根据全等三角形的性质得出AE=BC，即可求出答案．

解答 证明：（1）∵AB=AC，点D是BC的中点，
∴AD⊥BC，
∴BE=CE（线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等）；

（2）①∵BF⊥AC，
∴∠CFB=∠AFB=90°，
∵∠BAC=45°，
∴∠ABF=∠BAF=45°，
∴AF=BF，
∵AD⊥BC，BF⊥AC，
∴∠AFE=∠BFC=∠ADC=90°，
∴∠FAE+∠C=90°，∠CBF+∠C=90°，
∴∠FAE=∠CBF，
在△AEF和△BCF中
$\left\{\begin{array}{l}{∠FAE=∠CBF}\\{AF=BF}\\{∠AFE=∠BFC}\end{array}\right.$，
∴△AEF≌△BCF（ASA）；

②∵△AEF≌△BCF，
∴AE=BC，
∵D为BC的中点，
∴BC=2BD，
∴AE=2BD．

点评 本题考查了三角形内角和定理，线段垂直平分线性质，全等三角形的性质和判定的应用，能推出△AEF≌△BCF是解此题的关键．