Question

5．计算：
（1）2（x²+$\frac{1}{x^2}$）-3（x+$\frac{1}{x}$）=1
（2）$\frac{{x}^{2}+3}{x}$-$\frac{4x}{{x}^{2}+3}$=3．

Answer 1

分析 （1）设x+$\frac{1}{x}$=a，利用完全平方公式对原方程进行变形，得到关于a的一元二次方程，通过解该方程可以求得（x+$\frac{1}{x}$）的值，然后解关于x的分式方程，注意要验根．
（2）设$\frac{{x}^{2}+3}{x}$=b，然后由原方程得到关于b的分式方程，通过解该分式方程求得$\frac{{x}^{2}+3}{x}$的值，然后再来解关于x的分式方程，注意要验根．

解答 解：（1）x+$\frac{1}{x}$=a，则由原方程，得
2（a²-2）-3a=1，
整理，得
2a²-3a-5=0，
所以 a=$\frac{3±7}{4}$，
解得 a₁=$\frac{5}{2}$，a₂=-1．
①当a₁=$\frac{5}{2}$时，x+$\frac{1}{x}$=$\frac{5}{2}$，
整理得 2x²-5x+2=0．
所以 x=$\frac{5±\sqrt{25-4×2×2}}{4}$=$\frac{5±3}{4}$，
解得 x₁=2，x₂=$\frac{1}{2}$．
经检验，x₁=2，x₂=$\frac{1}{2}$都是原方程的根．
②当a₂=-1时，x+$\frac{1}{x}$=-1，
整理，得
x²+x+1=0．
△=1-4=-3＜0．
则该方程无解．
综上所述，原方程的解是：x₁=2，x₂=$\frac{1}{2}$；

（2）设$\frac{{x}^{2}+3}{x}$=b，则由原方程，得
b-$\frac{4}{b}$=3，
整理 得
（b-4）（b+1）=0，
解得 b=4或b=-1．
①当b=4时 $\frac{{x}^{2}+3}{x}$=4，即（x-1）（x-3）=0，
解得 x₁=1，x₂=3．
经检验，x₁=1，x₂=3都是原方程的根；
②当b=-1时 $\frac{{x}^{2}+3}{x}$=-1，即x²+x+3=0，
△=1-12=-11＜0．
则该方程无解．
综上所述，原方程的解是：x₁=1，x₂=3．

点评 本题考查了换元法解分式方程．用换元法解一些复杂的分式方程是比较简单的一种方法，根据方程特点设出相应未知数，解方程能够使问题简单化，注意求出方程解后要验根．