问题情境:如图1.点D是△ABC外的一点.点E在BC边的延长线上.BD平分∠ABC.CD平分∠ACE．试探究∠D与∠A的数量关系．(1)特例探究:如图2.若△ABC是等边三角形.其余条件不变.则∠D=30°,如图3.若△ABC是等腰三角形.顶角∠A=100°.其余条件不变.则∠D=50°,这两个图中.∠D与∠A度数的比是1:2,(2)猜想证明:如图1.△ABC为一般三� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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15．问题情境：如图1，点D是△ABC外的一点，点E在BC边的延长线上，BD平分∠ABC，CD平分∠ACE．试探究∠D与∠A的数量关系．
（1）特例探究：
如图2，若△ABC是等边三角形，其余条件不变，则∠D=30°；
如图3，若△ABC是等腰三角形，顶角∠A=100°，其余条件不变，则∠D=50°；这两个图中，∠D与∠A度数的比是1：2；
（2）猜想证明：
如图1，△ABC为一般三角形，在（1）中获得的∠D与∠A的关系是否还成立？若成立，利用图1证明你的结论；若不成立，说明理由．

分析（1）根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和用∠A和∠D表示出∠ACE，再根据角平分线的定义得到∠ACE=2∠DCE，∠ABC=2∠DBC，然后整理即可．
（2）根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和用∠A和∠D表示出∠ACE，再根据角平分线的定义得到∠ACE=2∠DCE，∠ABC=2∠DBC，然后整理即可．

解答解：（1）如图2，∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=60°，∠ACE=120°，
∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACE．
∴∠DBC=30°，∠DCE=60°，
∵∠DCE=∠D+∠DBC，
∴∠D=30°；
如图3，∵△ABC是等腰三角形，∠A=100°，
∴∠ABC=∠ACB=40°，∠ACE=140°，
∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACE．
∴∠DBC=20°，∠DCE=70°，
∵∠DCE=∠D+∠DBC，
∴∠D=50°；
故答案为30°，50°，1：2；
（2）成立，
如图1，在△ABC中，∠ACE=∠A+∠ABC，
在△DBC中，∠DCE=∠D+∠DBC，…（1）
∵CD平分∠ACE，BD平分∠ABC，
∴∠ACE=2∠DCE，∠ABC=2∠DBC，
又∵∠ACE=∠A+∠ABC，
∴2∠DCE=∠A+2∠DBC，…（2）
由（1）×2-（2），
∴2∠D+2∠DBC-（∠A+2∠DBC）=0，
∴∠A=2∠D．

点评本题考查了等边三角形的性质、等腰三角形的性质、利用三角形的外角性质和角平分线的定义解答是关键．

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