Question

【题目】如图，AB是以BC为直径的半圆O的切线，D为半圆上一点，AD=AB，AD，BC的延长线相交于点E．

（1）求证：AD是半圆O的切线；
（2）连结CD，求证：∠A=2∠CDE；
（3）若∠CDE=27°，OB=2，求 的长．

Answer 1

【答案】
（1）

证明：连接OD，BD，

∵AB是⊙O的直径，

∴AB⊥BC，即∠ABO=90°，

∵AB=AD，

∴∠ABD=∠ADB，

∵OB=OD，

∴∠DBO=∠BDO，

∴∠ABD+∠DBO=∠ADB+∠BDO，

∴∠ADO=∠ABO=90°，

∴AD是半圆O的切线；

（2）

证明：由（1）知，∠ADO=∠ABO=90°，

∴∠A=360°﹣∠ADO﹣∠ABO﹣∠BOD=180°﹣∠BOD，

∵AD是半圆O的切线，

∴∠ODE=90°，

∴∠ODC+∠CDE=90°，

∵BC是⊙O的直径，

∴∠ODC+∠BDO=90°，

∴∠BDO=∠CDE，

∵∠BDO=∠OBD，

∴∠DOC=2∠BDO，

∴∠DOC=2∠CDE，

∴∠A=∠CDE

（3）

解：

∵∠CDE=27°，

∴∠DOC=2∠CDE=54°，

∴∠BOD=180°﹣54°=126°，

∵OB=2，

∴ 的长= = π．

【解析】（1）连接OD，BD，根据圆周角定理得到∠ABO=90°，根据等腰三角形的性质得到∠ABD=∠ADB，∠DBO=∠BDO，根据等式的性质得到∠ADO=∠ABO=90°，根据切线的判定定理即可得到即可；（2）由AD是半圆O的切线得到∠ODE=90°，于是得到∠ODC+∠CDE=90°，根据圆周角定理得到∠ODC+∠BDO=90°，等量代换得到∠DOC=2∠BDO，∠DOC=2∠CDE即可得到结论；（3）根据已知条件得到∠DOC=2∠CDE=54°，根据平角的定义得到∠BOD=180°﹣54°=126°，然后由弧长的公式即可计算出结果．本题考查了切线是性质，弧长的计算，圆周角定理，等腰三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．