Question

20．已知N=$\root{3}{4}$+$\root{3}{2}$+1，求$\frac{1}{N}$的值．

Answer 1

分析 设$\root{3}{2}$=t，则$\root{3}{4}$=t²，N=t²+t+1，依此得到$\frac{1}{N}$=$\frac{1}{{t}^{2}+t+1}$，再根据分式的基本性质和立方公式得到原式=$\frac{t-1}{{t}^{3}-1}$，再代入计算即可求解．

解答 解：设$\root{3}{2}$=t，则$\root{3}{4}$=t²，N=t²+t+1，
则$\frac{1}{N}$=$\frac{1}{{t}^{2}+t+1}$
=$\frac{t-1}{（{t}^{2}+t+1）（t-1）}$
=$\frac{t-1}{{t}^{3}-1}$
=$\frac{\root{3}{2}-1}{2-1}$
=$\root{3}{2}$-1．

点评 考查了立方公式，换元思想的运用，关键是根据立方公式得到$\frac{1}{N}$=$\frac{\root{3}{2}-1}{2-1}$．其中立方公式：（a±b）³=a³±3a²b+3ab²±b³．