Question

17．我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”（如图所示）就是一例．

这个三角形的构造法则为：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方左右两数之和．事实上，这个三角形给出了（a+b）ⁿ（n为正整数）的展开式（按a的次数由大到小的顺序排列）的系数规律．例如，在三角形中第三行的三个数1，2，1，恰好对应（a+b）²=a²+2ab+b²展开式中各项的系数；第四行的四个数1，3，3，1，恰好对应着（a+b）³=a³+3a²b+3ab²+b³展开式中各项的系数等等．根据上面的规律，（a+b）⁴的展开式中各项系数最大的数为6；式子7⁵+5×7⁴×（-5）+10×7³×（-5）²+10×7²×（-5）³+5×7×（-5）⁴+（-5）⁵的值为32．

Answer 1

分析 根据三角形的构造法则，确定出（a+b）⁴的展开式中各项系数最大的数；原式变形后，计算即可得到结果．

解答 解：根据题意得：（a+b）⁴的展开式中各项系数分别为1，4，6，4，1，即最大的数为6；
7⁵+5×7⁴×（-5）+10×7³×（-5）²+10×7²×（-5）³+5×7×（-5）⁴+（-5）⁵=（7-5）⁵=32．
故答案为：6；32．

点评 此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．