Question

某县为了加快新农村的建设由供水公司为农村建造自来水，从而改善农村用水问题．某镇有三个村庄A、B、C正好位于一个等边三角形的三个顶点，每两个村庄相距akm，现计划在三个村庄联合架设一条铺设水管的线路，共设计了三种方案：
第一套方案：△ABC内找一点O，使它到△ABC的三个顶点A、B、C的距离相等；
第二套方案：如图②，按线路A--B--C进行铺设；
第三套方案：如图③，点D为AC的中点，按A--D、D--B、D--C的线路进行铺设．?
（1）在图①中用尺规作图的方法作出点O；?
（2）求出方案一所需铺设水管的长度；
（3）你帮忙计算一下，哪种方案最省水管．

Answer 1

考点：轴对称-最短路线问题

专题：

分析：（1）由于三角形的外心是三角形三边中垂线的交点，可作△ABC的任意两边的垂直平分线，它们的交点即为△ABC的外接圆的圆心；
（2）、（3）根据等边三角形的性质分别求出三个图形中的电线长度，然后判断大小即可．

解答：解：（1）△ABC的外接圆圆心到△ABC的三个顶点A、B、C的距离相等，可作△ABC的任意两边的垂直平分线，它们的交点即为△ABC的外接圆的圆心O，如图①所示．

（2）依题意知，△ABC是等边三角形．
如图①，延长AO交BC于点D．则
水管的长度为：3×

CD

cos30°

=3×

a 2

cos30°

=

3

a；

（3）图②中水管的长度是3a．
图③中水管的长度是：a+a•sin60°=a+a×

3

2

=

2+ 3

2

a．
由（2）知．图①中水管的长度是

3

a．
∵3a＞

2+ 3

2

a＞

3

a，
∴方案一最省钱．

点评：本题考查了等边三角形的性质以及锐角三角函数．解答（1）题时，能找到等边三角形的外接圆圆心是解题的难点．