Question

13．已知二次函数y=x²-2ax+6，当-2≤x≤2时，y≥a，则实数a的取值范围是（　　）

• A． -2≤a≤2
• B． $-\frac{10}{3}≤a≤-2$
• C． $-\frac{10}{3}≤a≤2$
• D． 0≤a≤2

Answer 1

分析 利用配方法可得出抛物线的对称轴以及函数的最小值，分a＜-2、a＞2和-2≤a≤2三种情况，根据二次函数的性质结合y≥a，即可得出关于a的一元一次不等式（二元一次不等式），解之即可得出a的取值范围，再综合三种情况下的a的取值范围即可．

解答 解：∵y=x²-2ax+6=（x-a）²-a²+6，
∴函数图象开口向上，对称轴为x=a，最小值为-a²+6．
①当a＜-2时，在-2≤x≤2上y随x的增大而增大，
∵y≥a，
∴（-2）²-2a×（-2）+6=10+4a≥a，
解得：-$\frac{10}{3}$≤a．
∵a＜-2，
∴-$\frac{10}{3}$≤a＜-2；
②当a＞2时，在-2≤x≤2上y随x的增大而减小，
∵y≥a，
∴2²-2a×2+6=10-4a≥a，
解得：a≤2．
∵a＞2，
∴无解；
③当-2≤a≤2时，函数在x=a处取最小值-a²+6．
∵y≥a，
∴-a²+6≥a，
解得：-3≤a≤2．
∵-2≤a≤2，
∴-2≤a≤2．
综上可得：-$\frac{10}{3}$≤a≤2．
故选C．

点评 本题考查了二次函数的性质以及二次函数的三种形式，分a＜-2、a＞2和-2≤a≤2三种情况，找出关于a的一元一次不等式（二元一次不等式）是解题的关键．