Question

如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC四个顶点的坐标分别为O（0，0），A（0，3），B（6，3），C（6，0），抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）过点A．

（1）求c的值；
（2）若a=-1，且抛物线与矩形有且只有三个交点A、D、E，求△ADE的面积S的最大值；
（3）若抛物线与矩形有且只有三个交点A、M、N，线段MN的垂直平分线l过点0，交线段BC于点F．当BF=1时，求抛物线的解析式．

Answer 1

解：（1）把（0，3）代入函数解析式y=ax²+bx+c中，得
c=3；

（2）若a=-1，且抛物线与矩形有且只有三个交点A、D、E，
则D、E分别在线段AB、BC上，或分别在AB、OC上，
若D、E分别在线段AB、BC上，
在y=-x²+bx+3中，令y=3，得x²-bx=0，解得：x=0或x=b，故D（b，3），
令x=6，得：y=6b-33，故E（6，6b-33），
∵0≤6b-33＜3，
∴≤b＜6，
又∵AD=|b|=b，EB=|3-（6b-33）|=36-6b，
△ADE的面积S=AD•BE=b（36-6b）=-3b²+18b=-3（b-3）²+27，
则当b=时，S有最大值．
若D、E分别在AB、OC上，
△ADE的面积S=AD•BE=b•3=b，
∵抛物线的对称轴为：x=，
当过点C时，抛物线为：y=-x²+x+3，
∴0＜≤，
∴当b=时，S有最大值．


（3）当点M、N分别在AB、OC上时，过M作MG⊥OC于点G，连接OM，
∴MG=OA=3，∠2+∠MNO=90°，
∵OF垂直平分MN，
∴OM=ON，∠1+∠MNO=90°，
∴∠1=∠2，
∴tan∠1==，tan∠2=tan∠1=，
∴GN=GM=1，设N（n，0），则G（n-1，0）
∴M（n-1，3）
∴AM=n-1，ON=n=OM，
在直角△AOM中，OM²=OA²+AM²，
∴n²=3²+（n-1）²，解得：n=5，
∴M（4，3），N（5，0），
把M、N代入二次函数的解析式得：
解得：，
则函数的解析式是：y=-x²+x+3；
如右图，
当点M、N分别在AB、BC边上时，
设M的坐标是（g，3），N的坐标是（6，h），
直线OF与BC交点的横坐标是6，纵坐标是3-1=2，
把（6，2）代入函数y=kx中，得k=，
故直线OF的解析式是y=x，
∵OF垂直平分MN，
∴点（，）在直线y=x上，OM=ON，
∴•=，g²+9=36+h²，
即g=3h+3①，g²+9=36+h²，②
解关于①②的方程组，得
或（负数不合题意，舍去），
把（，3）、（6，）代入二次函数y=ax²+bx+3中，得
，
解得．
故所求二次函数解析式是y=-x²+x+3．
则二次函数解析式是y=-x²+x+3或y=-x²+x+3．
分析：（1）把（0，3）代入函数解析式y=ax²+bx+c中，易求c；
（2）当a=-1时，函数解析式是y=-x²+bx+3，设D点坐标是（e，3），E点坐标是（6，f），分别把D、E的坐标代入y=-x²+bx+3中，易求e=b以及f=-33+6b，结合三角形面积公式，易得S=-3b²+18b，求关于b的二次函数的最大值即可；
（3）设M的坐标是（g，3），N的坐标是（6，h），根据图乙知直线OF与BC的交点坐标（6，2），进而求直线OF的解析式是y=x，而OF又是MN的中垂线，那么MN的中点就在直线OF上，于是可得g=3h+3①，g²+9=36+h²②，解关于g、h的二元二次方程组，易求g、h（负数舍去），进而可得M、N的坐标，再把M、N的坐标代入y=ax²+bx+3中，得到关于a、b的二元一次方程组，解可求a、b，进而可得二次函数解析式．
点评：本题考查了二次函数综合题，解题的关键是理解题意，并能画出草图，利用线段垂直平分线的性质、解方程组、两点之间的距离公式来解决问题．