Question

6．如图，在△ABC中，点D、E、F分别在边BC、AB、CA上，且DE∥CA，DF∥BA，下列说法：（1）四边形AEDF是平行四边形；（2）若∠BAC=90°，则四边形AEDF是矩形；（3）若AD平分∠BAC，则四边形AEDF是菱形；（4）若AD⊥BC且AB=AC，则四边形AEDF是正方形．其中正确的是（1）（2）（3）．（只填正确答案的序号）．

Answer 1

分析 先由两组对边分别平行的四边形为平行四边形，根据DE∥CA，DF∥BA，得出AEDF为平行四边形，得出（1）正确；当∠BAC=90°，根据推出的平行四边形AEDF，利用有一个角为直角的平行四边形为矩形可得出（2）正确；若AD平分∠BAC，得到一对角相等，再根据两直线平行内错角相等又得到一对角相等，等量代换可得∠EAD=∠EDA，利用等角对等边可得一组邻边相等，根据邻边相等的平行四边形为菱形可得出（3）正确；由AB=AC，AD⊥BC，根据等腰三角形的三线合一可得AD平分∠BAC，同理可得四边形AEDF是菱形，（4）错误，进而得到正确说法的个数．

解答 解：∵DE∥CA，DF∥BA，
∴四边形AEDF是平行四边形，选项（1）正确；
若∠BAC=90°，
∴平行四边形AEDF为矩形，选项（2）正确；
若AD平分∠BAC，
∴∠EAD=∠FAD，
又∵DE∥CA，
∴∠EDA=∠FAD，
∴∠EAD=∠EDA，
∴AE=DE，
∴平行四边形AEDF为菱形，选项（3）正确；
若AB=AC，AD⊥BC，
∴AD平分∠BAC，
同理可得平行四边形AEDF为菱形，选项（4）错误，
则其中正确的个数有3个（1）（2）（3）．
故答案为：（1）（2）（3）．

点评 此题考查了平行四边形的定义，菱形、矩形的判定，涉及的知识有：平行线的性质，角平分线的定义，以及等腰三角形的判定与性质，熟练掌握平行四边形、矩形及菱形的判定与性质是解本题的关键．