【题目】如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,翻折∠C,使点C落在斜边AB上某一点D处,折痕为EF(点E、F分别在边AC、BC上).
(1)若以C、E、F为顶点的三角形与以A、B、C为顶点的三角形相似. ①当AC=BC=2时,AD的长为;
②当AC=3,BC=4时,AD的长为;
(2)当点D是AB的中点时,△CEF与△CBA相似吗?请说明理由.
【答案】
(1);1.8或2.5
(2)解:当点D是AB的中点时,△CEF与△CBA相似.理由如下:
如答图3所示,连接CD,与EF交于点Q.
∵CD是Rt△ABC的中线,
∴CD=DB= AB,
∴∠DCB=∠B.
由折叠性质可知,∠CQF=∠DQF=90°,
∴∠DCB+∠CFE=90°,
∵∠B+∠A=90°,
∴∠CFE=∠A,
又∵∠ACB=∠ACB,
∴△CEF∽△CBA.
【解析】解:(1)若△CEF与△ABC相似. ①当AC=BC=2时,△ABC为等腰直角三角形,如答图1所示.
此时D为AB边中点,AD= AC= ;
②当AC=3,BC=4时,有两种情况:
a.若CE:CF=3:4,如答图2所示.
∵CE:CF=AC:BC,∴EF∥AB.
由折叠性质可知,CD⊥EF,∴CD⊥AB,即此时CD为AB边上的高.
在Rt△ABC中,AC=3,BC=4,
∴AB=5,
∴cosA= .
AD=ACcosA=3× =1.8;
b.若CF:CE=3:4,如答图3所示.
∵△CEF∽△CBA,∴∠CEF=∠B.
由折叠性质可知,∠CEF+∠ECD=90°,
又∵∠A+∠B=90°,
∴∠A=∠ECD,∴AD=CD.
同理可得:∠B=∠FCD,CD=BD,
∴此时AD= AB= ×5=2.5.
综上所述,当AC=3,BC=4时,AD的长为1.8或2.5.
【考点精析】关于本题考查的翻折变换(折叠问题)和相似三角形的判定与性质,需要了解折叠是一种对称变换,它属于轴对称,对称轴是对应点的连线的垂直平分线,折叠前后图形的形状和大小不变,位置变化,对应边和角相等;相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等)的比等于相似比;相似三角形周长的比等于相似比;相似三角形面积的比等于相似比的平方才能得出正确答案.
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】尤秀同学遇到了这样一个问题:如图1所示,已知AF,BE是△ABC的中线,且AF⊥BE,垂足为P,设BC=a,AC=b,AB=c.
求证:a2+b2=5c2
该同学仔细分析后,得到如下解题思路:
先连接EF,利用EF为△ABC的中位线得到△EPF∽△BPA,故 ,设PF=m,PE=n,用m,n把PA,PB分别表示出来,再在Rt△APE,Rt△BPF中利用勾股定理计算,消去m,n即可得证
(1)请你根据以上解题思路帮尤秀同学写出证明过程.
(2)利用题中的结论,解答下列问题:在边长为3的菱形ABCD中,O为对角线AC,BD的交点,E,F分别为线段AO,DO的中点,连接BE,CF并延长交于点M,BM,CM分别交AD于点G,H,如图2所示,求MG2+MH2的值.
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】端午节期间,扬州某商场为了吸引顾客,开展有奖促销活动,设立了一个可以自由转动的转盘,转盘被分成4个面积相等的扇形,四个扇形区域里分别标有“10元”、“20元”、“30元”、“40元”的字样(如图).规定:同一日内,顾客在本商场每消费满100元就可以转动转盘一次,商场根据转盘指针指向区域所标金额返还相应数额的购物券,某顾客当天消费240元,转了两次转盘.
(1)该顾客最少可得元购物券,最多可得元购物券;
(2)请用画树状图或列表的方法,求该顾客所获购物券金额不低于50元的概率.
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图是某地下商业街的入口,数学课外兴趣小组的同学打算运用所学的知识测量侧面支架的最高点E到地面的距离EF.经测量,支架的立柱BC与地面垂直,即∠BCA=90°,且BC=1.5m,点F、A、C在同一条水平线上,斜杆AB与水平线AC的夹角∠BAC=30°,支撑杆DE⊥AB于点D,该支架的边BE与AB的夹角∠EBD=60°,又测得AD=1m.请你求出该支架的边BE及顶端E到地面的距离EF的长度.
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】2012年我国国民经济运行总体平稳,全年全国公共财政收入117210亿元,2008﹣2012年全国公共财政收入及其增长速度情况如图所示:
(1)这五年中全国公共财政收入增长速度最高的年份是年;
(2)2012年的全国公共财政收入比2011年多亿元;
(3)这五年的全国公共财政收入增长速度的平均数是 .
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】某公司有甲种原料260kg,乙种原料270kg,计划用这两种原料生产A、B两种产品共40件.生产每件A种产品需甲种原料8kg,乙种原料5kg,可获利润900元;生产每件B种产品需甲种原料4kg,乙种原料9kg,可获利润1100元.设安排生产A种产品x件.
(1)完成下表
甲(kg) | 乙(kg) | 件数(件) | |
A | 5x | x | |
B | 4(40﹣x) | 40﹣x |
(2)安排生产A、B两种产品的件数有几种方案?试说明理由;
(3)设生产这批40件产品共可获利润y元,将y表示为x的函数,并求出最大利润.
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】下面给出的正多边形的边长都是20cm,请分别按下列要求设计一种剪拼方法(用虚线表示你的设计方案,把剪拼线段用粗黑实线,在图中标注出必要的符号和数据,并作简要说明.
(1)将图1中的正方形纸片剪拼成一个底面是正方形的直四棱柱模型,使它的表面积与原正方形面积相等;
(2)将图2中的正三角形纸片剪拼成一个底面是正三角形的直三棱柱模型,使它的表面积与原正三角形的面积相等;
(3)将图3中的正五边形纸片剪拼成一个底面是正五边形的直五棱柱模型,使它的表面积与原正五边形的面积相等.
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,在△ABC中,BC>AC , 点D在BC上,且DC=AC , ∠ACB的平分线CF交AD于F , 点E是AB的中点,连接EF .
(1)求证:2EF=BD ,
(2)四边形BDFE的面积为6,求△ABD的面积.
查看答案和解析>>
湖北省互联网违法和不良信息举报平台 | 网上有害信息举报专区 | 电信诈骗举报专区 | 涉历史虚无主义有害信息举报专区 | 涉企侵权举报专区
违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com