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【题目】如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,翻折∠C,使点C落在斜边AB上某一点D处,折痕为EF(点E、F分别在边AC、BC上).
(1)若以C、E、F为顶点的三角形与以A、B、C为顶点的三角形相似. ①当AC=BC=2时,AD的长为
②当AC=3,BC=4时,AD的长为
(2)当点D是AB的中点时,△CEF与△CBA相似吗?请说明理由.

【答案】
(1);1.8或2.5
(2)解:当点D是AB的中点时,△CEF与△CBA相似.理由如下:

如答图3所示,连接CD,与EF交于点Q.

∵CD是Rt△ABC的中线,

∴CD=DB= AB,

∴∠DCB=∠B.

由折叠性质可知,∠CQF=∠DQF=90°,

∴∠DCB+∠CFE=90°,

∵∠B+∠A=90°,

∴∠CFE=∠A,

又∵∠ACB=∠ACB,

∴△CEF∽△CBA.


【解析】解:(1)若△CEF与△ABC相似. ①当AC=BC=2时,△ABC为等腰直角三角形,如答图1所示.
此时D为AB边中点,AD= AC=
②当AC=3,BC=4时,有两种情况:
a.若CE:CF=3:4,如答图2所示.
∵CE:CF=AC:BC,∴EF∥AB.
由折叠性质可知,CD⊥EF,∴CD⊥AB,即此时CD为AB边上的高.
在Rt△ABC中,AC=3,BC=4,
∴AB=5,
∴cosA=
AD=ACcosA=3× =1.8;
b.若CF:CE=3:4,如答图3所示.
∵△CEF∽△CBA,∴∠CEF=∠B.
由折叠性质可知,∠CEF+∠ECD=90°,
又∵∠A+∠B=90°,
∴∠A=∠ECD,∴AD=CD.
同理可得:∠B=∠FCD,CD=BD,
∴此时AD= AB= ×5=2.5.
综上所述,当AC=3,BC=4时,AD的长为1.8或2.5.


【考点精析】关于本题考查的翻折变换(折叠问题)和相似三角形的判定与性质,需要了解折叠是一种对称变换,它属于轴对称,对称轴是对应点的连线的垂直平分线,折叠前后图形的形状和大小不变,位置变化,对应边和角相等;相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等)的比等于相似比;相似三角形周长的比等于相似比;相似三角形面积的比等于相似比的平方才能得出正确答案.

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(1)请你根据以上解题思路帮尤秀同学写出证明过程.
(2)利用题中的结论,解答下列问题:在边长为3的菱形ABCD中,O为对角线AC,BD的交点,E,F分别为线段AO,DO的中点,连接BE,CF并延长交于点M,BM,CM分别交AD于点G,H,如图2所示,求MG2+MH2的值.

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