Question

2．如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ABC=90°，点D为BC的中点，点E在AC边上．
（1）若CE：AE=1：7，求tan∠CDE的值．
（2）以DE为腰作等腰直角三角形DEF，连接CF、BF，若CE=1，△CDF的面积为$\frac{15}{2}$，求BF的长．

Answer 1

分析 （1）作EF⊥BC于F，则EF∥AB，由平行线分线段成比例定理得出CF：BC=1：8，得出CF：DF=1：3，证出△CEF是等腰直角三角形，得出EF=CF，EF：DF=1：3即可；
（2）作DN⊥AC，DM⊥FC，FK⊥BC，垂足分别为N，M，K，易证∠DFE=∠ACB═45°，可得D、E、C、F四点共圆，从而可证得∠DEN=∠DFM，进而可得△DNE≌△DMF，则有DN=DM，NE=MF．易证四边形DNCM是正方形，设正方形DNCM的边长为x，根据△CDF的面积为7.5建立关于x的方程，求出x，从而可求出FC、KC、BK，然后根据勾股定理就可求出BF的长．

解答 解：（1）作EF⊥BC于F，如图1所示：
则EF∥AB，
∴CF：BF=CE：AE=1：7，
∴CF：BC=1：8，
∵点D为BC的中点，
∴BD=CD，
∴CF：DF=1：3，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠C=45°，
∴△CEF是等腰直角三角形，
∴EF=CF，
∴EF：DF=1：3，
∴tan∠CDE=$\frac{EF}{DF}$=$\frac{1}{3}$；
（2）作DN⊥AC，DM⊥FC，FK⊥BC，垂足分别为N，M，K，如图2所示．
∵△ABC和△DEF都是等腰直角三角形，
∴∠DFE=∠ACB=45°，
∴D、E、C、F四点共圆
∴∠EDF+∠ECF=180°，∠DEC+∠DFC=180°，∠DCF=∠DEF=45°．
∵∠DEN+∠DEC=180°，
∴∠DEN=∠DFM．
在△DNE和△DMF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DEN=∠DFM}\\{∠DNE=∠DMF}\\{DE=DF}\end{array}\right.$，
∴△DNE≌△DMF（AAS），
∴DN=DM，NE=MF．
∵∠DNC=∠NCM=∠DMC=90°，
∴四边形DNCM是矩形．
∵DN=DM，
∴矩形DNCM是正方形．
设正方形DNCM的边长为x，
则NC=MC=DM=DN=x，
∴MF=NE=NC-EC=x-1，
∴FC=MC+FM=x+（x-1）=2x-1．
∵△CDF的面积为7.5，
∴$\frac{1}{2}$x（2x-1）=7.5．
解得：x₁=-2.5（舍去），x₂=3．
∴BD=DC=$\sqrt{D{M}^{2}+M{C}^{2}}$=3$\sqrt{2}$，FC=5，
∴KF=FC•sin45°=$\frac{5\sqrt{2}}{2}$，
同理：KC=$\frac{5\sqrt{2}}{2}$，
∴BK=BC-KC=6$\sqrt{2}$-$\frac{5\sqrt{2}}{2}$=$\frac{7\sqrt{2}}{2}$，
∴BF=$\sqrt{F{K}^{2}+B{K}^{2}}$=$\sqrt{37}$．

点评 本题考查了四点共圆、圆内接四边形的性质、圆周角定理、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、正方形的判定与性质、解一元二次方程、锐角三角函数的定义、勾股定理等知识，综合性比较强．而通过证明D、E、C、F四点共圆和△DNE≌△DMF是解决本题的关键．