如图.在平面直角坐标系中.已知矩形ABCD的三个顶点B．抛物线y=ax2+bx过A.C两点．(1)直接写出点A的坐标.并求出抛物线的解析式,(2)动点P从点A出发．沿线段AB向终点B运动.同时点Q从点C出发.沿线段CD向终点D运动．速度均为每秒1个单位长度.运动时间为t秒．过点P作PE⊥AB交AC于点E．①过点E作EF⊥AD于点F.交抛物线于点G．当点P� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

6．

如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个顶点B（4，0）、C（8，0）、D（8，8）．抛物线y=ax²+bx过A、C两点．
（1）直接写出点A的坐标，并求出抛物线的解析式；
（2）动点P从点A出发．沿线段AB向终点B运动，同时点Q从点C出发，沿线段CD向终点D运动．速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t秒．过点P作PE⊥AB交AC于点E．
①过点E作EF⊥AD于点F，交抛物线于点G．当点P到线段AC的距离为1时，求PE和EG的长．
②连接EQ．在点P、Q运动的过程中，将△ECQ沿着某边翻折后，第三个顶点的对应点记为M，若点E、C、Q、M构成的四边形是菱形时，求出M点的坐标．

分析（1）根据矩形的性质，可得A点坐标，根据待定系数法，可得函数解析式；
（2）根据相似三角形的性质，可得AH的长，根据勾股定理，可得AP的长，根据自变量与函数值的对应关系，可得E点坐标，G点坐标，根据平行于x轴直线上两点间的距离是较大的横坐标减较小的横坐标，可得PE，根据平行于y轴的直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标，可得GH的长；
（3）根据菱形的邻边相等，可得t的方程，根据解方程，可得E、Q点的坐标，根据菱形一组对角顶点的横坐标的和等于另一组对角顶点的横坐标的和，菱形一组对角顶点的纵坐标的和等于另一组对角顶点的纵坐标的和，可得M点的坐标．

解答解：（1）因为点B的横坐标为4，点D的纵坐标为8，AD∥x轴，AB∥y轴，
所以点A的坐标为（4，8）．
将A（4，8）、C（8，0）两点坐标分别代入y=ax²+bx，得
$\left\{\begin{array}{l}{16a+4b=8}\\{64a+b8=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{2}}\\{b=4}\end{array}\right.$．
故抛物线的解析式为：y=-$\frac{1}{2}$x²+4x；

（2）①如图1：

△APH∽△ACB，
$\frac{PH}{BC}$=$\frac{AH}{AB}$，AH=$\frac{1×8}{4}$=2，
在Rt△APH中，由勾股定理，得
AP=$\sqrt{A{H}^{2}+P{H}^{2}}$=$\sqrt{5}$，即P（4，8-$\sqrt{5}$）．
AC的解析式为y=-2x+16，
当y=8-$\sqrt{5}$时，-2x+16=8-$\sqrt{5}$，解得x=$\frac{\sqrt{5}}{2}$+4，
即E（$\frac{\sqrt{5}}{2}$+4，8-$\sqrt{5}$）．
PE=x_E-x_P=$\frac{\sqrt{5}}{2}$+4-4=$\frac{\sqrt{5}}{2}$；
当x=$\frac{\sqrt{5}}{2}$+4时，y=-$\frac{1}{2}$×（$\frac{\sqrt{5}}{2}$+4）²+4×（$\frac{\sqrt{5}}{2}$+4）=$\frac{27}{4}$，
即G（4+$\frac{\sqrt{5}}{2}$，$\frac{27}{4}$）．
EG=_G-y_p=$\frac{27}{4}$-（8-$\sqrt{5}$）=$\sqrt{5}$-$\frac{5}{4}$；
PE的长为$\frac{\sqrt{5}}{2}$，EG的长为$\sqrt{5}$-$\frac{5}{4}$；
②∵Q（8，t），E（4+$\frac{1}{2}$t，8-t），C（8，0），
∴EQ²=（$\frac{1}{2}$t-4）²+（8-2t）²，QC²=t²，EC²=（4+$\frac{1}{2}$t-8）²+（8-t）²．
四边形CEQM为菱形时，分三种情况：
（Ⅰ）以EC为对角线时，得EQ=QC，即（$\frac{1}{2}$t-4）²+（8-2t）²=t²，
整理得13t²-144t+320=0，
解得t=$\frac{40}{13}$或t=$\frac{104}{13}$=8（此时E、C重合，不能构成三角形，舍去）；
Q点的坐标为（8，$\frac{40}{13}$），E点的坐标为（$\frac{72}{13}$，$\frac{64}{13}$）C点坐标（8，0），
x_M=x_E+x_C-x_Q=$\frac{72}{13}$+8-8=$\frac{72}{13}$，y_M=y_E+y_C-y_Q=$\frac{64}{13}$+0-$\frac{40}{13}$=$\frac{24}{13}$，
M₁（$\frac{72}{13}$，$\frac{24}{13}$）；
（Ⅱ）以EQ为对角线时，得EC=CQ，即（4+$\frac{1}{2}$t-8）²+（8-t）²=t²，
整理得t²-80t+320=0，
解得t=40-16$\sqrt{5}$，t=40+16$\sqrt{5}$＞8（此时Q不在矩形的边上，舍去），
Q点的坐标为（8，40-16$\sqrt{5}$），E点的坐标为（24-8$\sqrt{5}$，16$\sqrt{5}$-32），C点坐标（8，0），
x_M=x_E+x_Q-x_C=24-8$\sqrt{5}$+8-8=24-8$\sqrt{5}$，y_M=y_E+y_Q-y_C=16$\sqrt{5}$-32+40-16$\sqrt{5}$-0=8，
即M₂（24-8$\sqrt{5}$，8）；
（Ⅲ）以CQ为对角线时，得EQ=EC，即（$\frac{1}{2}$t-4）²+（8-2t）²=（4+$\frac{1}{2}$t-8）²+（8-t）²，
解得t=0（此时Q、C重合，不能构成三角形，舍去）或t=$\frac{16}{3}$，
Q点的坐标为（8，$\frac{16}{3}$），E点的坐标为（$\frac{20}{3}$，$\frac{8}{3}$）C点坐标（8，0），
x_M=x_C+x_Q-x_E=8+8-$\frac{20}{3}$=$\frac{28}{3}$，y_M=y_C+y_Q-y_E=0+$\frac{16}{3}$-$\frac{8}{3}$=$\frac{8}{3}$
M₃（$\frac{28}{3}$，$\frac{8}{3}$）．
综上所述：点E、C、Q、M构成的四边形是菱形时，M点的坐标M₁（$\frac{72}{13}$，$\frac{24}{13}$），M₂（24-8$\sqrt{5}$，8），M₃（$\frac{28}{3}$，$\frac{8}{3}$）．

点评本题考查了二次函数综合题，利用了矩形的性质，待定系数法求函数解析式；利用了相似三角形的性质，勾股定理，利用平行于坐标轴两点间的距离公式是解题关键；利用菱形的邻边相等的出关于t的方程是解题关键，又利用了菱形的性质：菱形一组对角顶点的横坐标的和等于另一组对角顶点的横坐标的和，菱形一组对角顶点的纵坐标的和等于另一组对角顶点的纵坐标的和，要分类讨论，以防遗漏．

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