Question

1．如图1，四边形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，点E在边AB上，∠DEC=90°，且DE=EC．
（1）求证：△ADE≌△BEC；
（2）若AD=a，AE=b，DE=c，请用图1证明勾股定理：a²+b²=c²；
（3）线段AB上另有一点F（不与点E重合），且DF⊥CF（如图2），若AD=2，BC=4，求EF的长．

Answer 1

分析 （1）首先得出∠ADE=∠CEB，再利用全等三角形的判定方法得出△ADE≌△BEC（AAS）；
（2）利用梯形的面积和直角三角形面积公式求出答案；
（3）利用全等三角形的性质结合相似三角形的判定与性质得出AF的长，进而得出答案．

解答 （1）证明：如图1，∵∠DEC=90°，
∴∠AED+∠CEB=90°，
∵∠ADE+∠AED=90°，
∴∠ADE=∠CEB，
在△ADE和△BEC中
$\left\{\begin{array}{l}{∠A=∠B}\\{∠ADE=∠BEC}\\{DE=EC}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△BEC（AAS）；

（2）证明：如图1，∵AB⊥BC，∠DEC=90°，
∴△ADE，△DEC，△BEC都是直角三角形，
∵AD=a，AE=b，DE=c，且DE=EC，△ADE≌△BEC，
∴BE=a，BC=b，
∴$\frac{1}{2}$（a+b）（a+b）=$\frac{1}{2}$ab+$\frac{1}{2}$c²+$\frac{1}{2}$ab，
整理得：a²+b²=c²；

（3）解：如图2，
由（1）得：△ADE≌△BEC（AAS），
则AD=BE=2，BC=AE=4，
∵DF⊥CF，
∴∠AFD+∠BFC=90°，
∵∠BFC+∠BCF=90°，
∴∠AFD=∠BCF，
又∵∠A=∠B，
∴△AFD∽△BCF，
∴$\frac{AF}{BC}$=$\frac{AD}{BF}$，
设AF=x，则BF=6-x，
故$\frac{x}{4}$=$\frac{2}{6-x}$，
解得：x₁=2，x₂=4，
∵点F不与点E重合，
∴x=2，
∴EF=6-2-2=2．

点评 此题主要考查了四边形综合以及全等三角形的判定与性质和相似三角形的判定与性质等知识，得出△AFD∽△BCF，求出AF的长是解题关键．