Question

19．有两张完全重合的直角三角形纸片OAB，AB=8，∠BAO=30°，将它们放置在平面直角坐标系中，以点O旋转中心，把Rt△OAB顺时针旋转90°，得Rt△OCD．

（1）如图①，点C的坐标为（4$\sqrt{3}$，0），点D的坐标为（4，0）；
（2）如图②，以点O为旋转中心，把Rt△OAB顺时针旋转．得Rt△OA₁B₁，OA₁交边CD于点K，设旋转角为α（0°＜α＜90°）．当△OCK为等腰三角形时，求旋转角α的度数；
（3）如图③，将Rt△OCD沿x轴向左平移，得Rt△O₂C₂D₂，C₂D₂与OA交于点P，O₂D₂与AB交于点N，当NP∥OB时，求平移的距离及点N的坐标．

Answer 1

分析 （1）先根据含30度角的直角三角形的性质求出OA，OB，再由旋转的性质得出OC，OD即可；
（2）分两种情况利用等腰三角形的性质即可得出结论；
（3）设出OO₂，用勾股定理依次OC₂=4$\sqrt{3}$-x，AP=4$\sqrt{3}$-4+$\frac{\sqrt{3}}{3}$x．再用△ANP∽△ABO得出的比例式建立方程即可求出x，即可得出结论．

解答 解：（1）在Rt△AOB中，∠BAO=30°，AB=8，
∴OB=4，OA=4$\sqrt{3}$，
由旋转知，OC=OA=4$\sqrt{3}$，OD=OB=4
C（4$\sqrt{3}$，0），D（0，4），
故答案为（4$\sqrt{3}$，0），（0，4）；

（2）当KO=KC时，
∠KOC=∠KCO=30°
∵∠A₁OB₁=90°
∴a=60°
．当CO=CK时，∠KOC=∠OKC=$\frac{180°-∠KCO}{2}$=$\frac{180°-30°}{2}$=75° 
∵∠A₁OB₁=90°
∴a=30°
∴旋转角为60或15°．

（3）∵D₂O₂∥DO，NP∥OB，
∴四边形NO₂OP是平行四边形．
∵∠AOB=90°，
∴四边形NO₂OP是矩形．
设OO₂=x，则NP=x，
在Rt△O₂C₂D₂中，
∵C₂D₂=CD=AB=8，∠D₂C₂O=∠DCO=30°，
∴O₂D₂=$\frac{1}{2}$C₂D₂=4，O₂C₂=4$\sqrt{3}$．
∴OC₂=O₂C₂-O₂O=4$\sqrt{3}$-x 
在Rt△POC₂中，
∠POC₂=90°，∠PC₂O=30°，
∴OP=OC₂•tan30°=（4$\sqrt{3}$-x）•$\frac{\sqrt{3}}{3}$=4-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x，
∴AP=AO-OP=4$\sqrt{3}$-4+$\frac{\sqrt{3}}{3}$x．
∵NP∥OB，
∴△ANP∽△ABO，
∴$\frac{NP}{BO}=\frac{AP}{AO}$．
∴$\frac{x}{4}=\frac{4\sqrt{3}-4+\frac{\sqrt{3}}{3}}{4\sqrt{3}}$
．解得x=6-2$\sqrt{3}$．
即O₂O=6-2$\sqrt{3}$ 
∴平移的距离是6-2$\sqrt{3}$ 
NO₂=OP=4-$\frac{\sqrt{3}}{3}×（6-2\sqrt{3}）$=6-2$\sqrt{3}$
∴点N的坐标是（2$\sqrt{3}$-6，6-2$\sqrt{3}$）．

点评 此题是三角形综合题，主要考查了含30度角的直角三角形的性质，旋转的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，相似三角形的性质，平移的性质，解本题的关键是利用勾股定理表示出OC₂=4$\sqrt{3}$-x，AP=4$\sqrt{3}$-4+$\frac{\sqrt{3}}{3}$x．