Question

14．如图，直线y=-x+2与过原点的抛物线交于A，B两点，且抛物线的顶点C的坐标为（1，-1）．
（1）求抛物线的函数表达式及B点的坐标；
（2）请你判断△ABC的形状并说明理由；
（3）若点P为x轴上的一个动点，过点P作PH⊥x轴与抛物线交于点H，则是否存在以O，P，H为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由直线解析式可求得A点坐标，再由A、O、C的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式，再联立两函数解析式可求得B点坐标；
（2）由A、B、C三点的坐标可求得AB、AC和BC的长，再利用勾股定理的逆定理可判断其形状；
（3）设P点坐标为（x，0），则可表示出H点的坐标，从而可表示出PH和OP的长，再利用相似三角形的性质可得到关于x的方程，可求得x的值，可求得P点坐标．

解答 解：
（1）在y=-x+2中，令y=0可求得x=2，
∴A（2，0），
设抛物线解析式为y=ax²+bx+c，
∵抛物线的顶点C的坐标为（1，-1），且过原点和A点，
∴$\left\{\begin{array}{l}{c=0}\\{4a+2b+c=0}\\{a+b+c=-1}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=-2}\\{c=0}\end{array}\right.$，
∴抛物线解析式为y=x²-2x，
联立两函数解析式可得$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+2}\\{y={x}^{2}-2x}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-1}\\{y=3}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=0}\end{array}\right.$，
∴B点坐标为（-1，3）；

（2）△ABC为直角三角形，理由如下：
∵A（2，0），B（-1，3），C（1，-1），
∴AB=$\sqrt{（2+1）^{2}+{3}^{2}}$=3$\sqrt{2}$，AC=$\sqrt{（2-1）^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{2}$，BC=$\sqrt{（1+1）^{2}+（-1-3）^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
∴AB²+AC²=18+2=20=BC²，
∴△ABC为直角三角形；

（3）设P（x，0），则H（x，x²-2x），如图，

则OP=|x|，PH=|x²-2x|，
∵∠OPH=∠CAB=90°，
∴当△OPH和△ABC相似时，有△OPH∽△BAC或△OPH∽△CAB两种情况，
当△OPH∽△BAC时，则有$\frac{OP}{AB}$=$\frac{PH}{AC}$，即$\frac{|x|}{3\sqrt{2}}$=$\frac{|{x}^{2}-2x|}{\sqrt{2}}$，解得x=0或x=$\frac{7}{3}$或x=$\frac{5}{3}$，
当x=0时，O、P重合，舍去，
∴P点坐标为（$\frac{7}{3}$，0）或（$\frac{5}{3}$，0），
当△OPH∽△CAB时，则有$\frac{OP}{AC}$=$\frac{PH}{AB}$，即$\frac{|x|}{\sqrt{2}}$=$\frac{|{x}^{2}-2x|}{3\sqrt{2}}$，解得x=0或x=5或x=-1，
当x=5时，x²-2x=15，当x=-1时，x²-2x=3，
∴P点坐标为（5，0）或（-1，0），
综上可知存在满足条件的点P，其坐标为（$\frac{7}{3}$，0）或（$\frac{5}{3}$，0）或（5，0）或（-1，0）．

点评 本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、函数图象的交点、勾股定理及其逆定理、相似三角形的性质、方程思想及分类讨论思想等知识．在（1）中注意待定系数法的应用，在（2）中求得AB、AC和BC的长是解题的关键，在（3）中用P点坐标表示出PH和OP的长，利用相似三角形的性质得到关于坐标的方程是解题的关键，注意分情况讨论．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．