Question

4．△ABC是等边三角形，点D是射线BC上一点（不与点B，C重合）．连接AD，以AD为一边．作等边三角形ADE，使点B，E位于直线AD的两侧．连接CE．
（1）如图1，若点D在边BC上．则AB．CE的位置关系是AB∥CE，线段BD，CE的数量关系是BD=CE；
（2）如图2，若点D在BC的延长线上，则（1）中的两个结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由
（3）若AB=6，CD=2，请直接写出线段DE的长
（4）若四边形ABDE的面积是△ABC面积的$\frac{13}{4}$倍，请直接写出tan∠ADB的值．

Answer 1

分析 （1）结论：AB∥CE，BD=CE．只要证明△BAD≌△CAE即可．
（2）若点D在BC的延长线上，则（1）中的两个结论成立．证明方法类似．
（3）分两种情形讨论，如图3中，作AF⊥BC于F．如图3中，作AF⊥BC于F，在Rt△ADF中，根据DE=AD=$\sqrt{A{F}^{2}+D{F}^{2}}$计算即可．
（4）由题意四边形ABDE的面积是△ABC面积的$\frac{13}{4}$倍，点D只有在BD的延长线上时，如图3右图中，设BC=2a，CD=ka，则AF=$\sqrt{3}$a，AD=$\sqrt{3{a}^{2}+（a+ka）^{2}}$，可得S_{四边形ABDE}=S_△ABD+S_△AED=$\frac{1}{2}$•（2a+Ka）•$\sqrt{3}$a+$\frac{\sqrt{3}}{4}$•[3a²+（a+ka）²]，S_△ABC=$\frac{\sqrt{3}}{4}$•（2a）²=$\sqrt{3}$a²，由题意$\frac{1}{2}$•（2a+Ka）•$\sqrt{3}$a+$\frac{\sqrt{3}}{4}$•[3a²+（a+ka）²]=$\frac{13}{4}$•$\sqrt{3}$a²，
整理得k²+4k-5=0，解得k=1，由此即可解决问题．

解答 解：（1）如图1中，

∵△ABC，△ADE都是等边三角形，
∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠BAC=∠B=∠DAE=60°，
∴∠BAD=∠CAE，
在△BAD和△CAE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠BAD=∠CAE}\\{AD=AE}\end{array}\right.$，
∴△BAD≌△CAE，
∴BD=CE，∠ACE=∠B=60°，
∴∠BAC=∠ACE，
∴AB∥CE，
故答案为AB∥CE，BD=CE．

（2）若点D在BC的延长线上，则（1）中的两个结论成立．
理由：如图2中，

∵△ABC，△ADE都是等边三角形，
∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠BAC=∠B=∠DAE=60°，
∴∠BAD=∠CAE，
在△BAD和△CAE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠BAD=∠CAE}\\{AD=AE}\end{array}\right.$，
∴△BAD≌△CAE，
∴BD=CE，∠ACE=∠B=60°，
∴∠BAC=∠ACE，
∴AB∥CE，

（3）如图3中，作AF⊥BC于F．

①当点D在线段BC上时，在Rt△ADF中，易知AD=3$\sqrt{3}$，DF=1，DE=AD=$\sqrt{A{F}^{2}+D{F}^{2}}$=$\sqrt{（3\sqrt{3}）^{2}+{1}^{2}}$=2$\sqrt{7}$．
②当点D在线段BC的延长线上时，在Rt△ADF中，易知AD=3$\sqrt{3}$，DF=5，如图3中，作AF⊥BC于F．
$\sqrt{（3\sqrt{3}）^{2}+{5}^{2}}$=2$\sqrt{13}$．

（4）由题意四边形ABDE的面积是△ABC面积的$\frac{13}{4}$倍，点D只有在BD的延长线上时，如图3右图中，设BC=2a，CD=ka，则AF=$\sqrt{3}$a，AD=$\sqrt{3{a}^{2}+（a+ka）^{2}}$，
∴S_{四边形ABDE}=S_△ABD+S_△AED=$\frac{1}{2}$•（2a+Ka）•$\sqrt{3}$a+$\frac{\sqrt{3}}{4}$•[3a²+（a+ka）²]，
∵S_△ABC=$\frac{\sqrt{3}}{4}$•（2a）²=$\sqrt{3}$a²，
由题意$\frac{1}{2}$•（2a+Ka）•$\sqrt{3}$a+$\frac{\sqrt{3}}{4}$•[3a²+（a+ka）²]=$\frac{13}{4}$•$\sqrt{3}$a²，
整理得k²+4k-5=0，解得k=1，k=-5（舍），
∴tan∠ADB=$\frac{AF}{DF}$=$\frac{\sqrt{3}a}{2a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

点评 本题考查三角形综合题、等边三角形的性质、勾股定理、全等三角形的判定和性质、一元二次方程等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．