Question

【题目】如图，抛物线y＝ax2+bx+c的顶点为C（0，），与x轴交于A、B两点，且A（﹣1，0）．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点P从点B出发，以每秒1个单位的速度向点A运动，同时点Q从点C出发，以每秒v个单位的速度向y轴负方向匀速运动，运动时间为t秒，连接PQ交射线BC于点D，当点P到达点A时，点Q停止运动，以点P为圆心，PB为半径的圆与射线BC交于点E．

①求BE的长；当t＝1时，求DE的长；

②若在点P，Q运动的过程中，线段DE的长始终是一个定值，求v的值及DE长．

Answer 1

【答案】（1）y＝x2﹣；（2）①当t＝1时， DE＝1为定值；②在点P运动的过程中，v＝，线段DE的长是定值1．

【解析】

（1）由抛物线y=ax2+bx+c的顶点为C（0，-），可得对称轴，将抛物线解析式改为顶点式，将A（-1，0）代入即可；
（2）连接PE，过D作D⊥y轴于H，设DH=a，设经过t秒时，①当0＜t＜1时，利用△QDH∽△QPO即可得DE的长与t无关，为定值；当t=1时，易得DE=CE=BC=1为定值；②当1＜t≤2时，△QDH∽△QPO，可得DE为定值．

（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c的顶点为C（0，﹣），

∴抛物线的对称轴是y轴，

∴b＝0，

设抛物线的解析式为y＝ax2﹣，把A（﹣1，0）代入y＝ax2﹣，得a＝，

∴抛物线的解析式为y＝x2﹣；

（2）如图1，连接PE，过D作D⊥y轴于H，设DH＝a，

设经过t秒时，PB＝t，CQ＝vt，

①当0＜t＜1时，

∵PB＝PE＝t，∠PBE＝60°，

∴△PBE是等边三角形，

∴BE＝PB＝t；

又 OP＝1﹣t，CQ＝vt，QH＝HC+CQ＝vt+a，QO＝OC+CQ＝vt+，

∵△QDH∽△QPO，

∴，即，

∴a＝，

∴DC＝2DH＝，

∴DE＝CB﹣EB﹣DC＝2﹣t﹣＝t+，

依题意，DE为定值，故当v＝时，DE的长与t无关，即DE＝1；

当t＝1时，P到O点，C与D重合，显然DE＝CE＝BC＝1为定值；

②如图2，当1＜t≤2时，OP＝PB﹣OB＝t﹣1，

∵DH＝a，CH＝a，QH＝CQ﹣CH＝vt﹣a，QO＝CQ+OC＝vt+，

同理，△QDH∽△QPO，得，即，

∴a＝，

∴DC＝2DH＝，

∴DE＝DC+CE＝+（2﹣t）＝t+，

依题意，DE为定值，故当v＝时，DE＝1，

综上所述，在点P运动的过程中，v＝，线段DE的长是定值1．