Question

【题目】如图，在菱形ABCD中，AC为对角线，点E，F分别在AB，AD上，BE=DF，连接EF．

（1）求证：AC⊥EF；

（2）延长EF交CD的延长线于点G，连接BD交AC于点O，若BD=4，tanG=，求AO的长．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）AO=1。

【解析】

（1）由菱形的性质得出AB=AD，AC平分∠BAD，再根据等腰三角形的三线合一即可；

（2）根据菱形的性质和已知条件得出四边形EBDG为平行四边形，得出∠G=∠ABD，再根据tanG=即可求出AO的长．

（1）证明：∵四边形ABCD为菱形 ∴AB=AD，AC平分∠BAD

∵BE=DF， ∴ ， ∴AE=AF

∴△AEF是等腰三角形， ∵AC平分∠BAD， ∴AC⊥EF

（2）解：如图2所示：

∵四边形ABCD为菱形，∴CG∥AB，BO=BD=2，∵EF∥BD

∴四边形EBDG为平行四边形，∴∠G=∠ABD，∴tan∠ABD=tan∠G=

∴tan∠ABD=，∴AO=1