Question

【题目】已知AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点（不与点A，B重合），过点C作AB的垂线交⊙O于点D，垂足为E点．

（1）如图1，当AE=4，BE=2时，求CD的长度；

（2）如图2，连接AC，BD，点M为BD的中点．求证：ME⊥AC．

Answer 1

【答案】（1）；（2）见解析

【解析】

（1）先求出半径，然后利用勾股定理求出CE的长度，最后利用垂径定理即可求出CD的长度；

（2）延长ME与AC交于点N，先利用直角三角形斜边中线的性质和等腰三角形的性质得出∠CEN=∠DEM=∠D，然后利用∠B=∠C，得出，则∠CNE =90°，则结论可证．

解：（1）如图1，连接OC．

∵ AE=4，BE=2，

∴AB =6，

∴CO =AO=3，

∴OE =AE-AO=1，

∵CD⊥AB，

∴ CE=

∵AB是⊙O的直径，CD⊥AB，

∴CE=DE，

∴ CD=2CE=．

（2）证明：如图2，延长ME与AC交于点N．

∵CD⊥AB，

∴∠BED=90°．

∵ M为BD中点，

∴EM =BD =DM，

∴∠DEM=∠D，

∴∠CEN=∠DEM=∠D．

∵∠B=∠C，

∴∠CNE =90°，

即ME⊥AB．