Question

【题目】如图，直角梯形中，的圆心从点开始沿折线以的速度向点运动，的圆心从点开始沿边以的速度向点运动，半径为的半径为，若分别从点、点同时出发，运动的时间为

（1）请求出与腰相切时的值；

（2）在范围内，当为何值时，与外切？

Answer 1

【答案】（1）；（2）3

【解析】

（1）先设⊙O2运动到E与CD相切，且切点是F；连接EF，并过E作EG∥BC，交CD于G，再过G作GH⊥BC于H，那么就得到直角三角形EFG和矩形GEBH．要求⊙O2与CD相切的时间，可以先求出⊙O2从B到E所走的路程BE，即GH的长，再除以运动速度即可．那么求GH的值就是关键，由∠C＝60°，可以知道∠CGH＝30°，那么∠FGE＝60°．在Rt△EFG中，可以利用勾股定理求出EG的值，那么CH＝BCBH＝BCEG．在Rt△CGH中，利用60°的角的正切值可求出GH的值，此问就可解了；

（2）因为，所以O1一定在AD上，连接O1O2．利用勾股定理可得到关于t的一元二次方程，求解即可，根据要求，可选择t的值．

解：如图所示，设点运动到点处时，与腰相切

过点作，垂足为，则

作，交于，作，垂足为

由直角三角形GEF中，∠EGF＋∠GEF＝90°，

又∠EGF＋∠CGH＝90°，

∴∠GEF＝∠CGH＝30°，

设FG＝xcm，则EG＝2xcm，又EF＝4cm，

根据勾股定理得：FG2＋EF2＝EG2，即x2＋42＝（2x）2，解得x＝，

∵四边形BHGE是矩形

则HB＝GE＝cm，

∴CH＝BCBH＝BCEG=（9）cm，

又在直角三角形CHG中，∠C＝60°

则EB＝GH＝CHtan60°＝(9)×cm．

所以，t＝（9）秒．

由于，所以，点在边上

如图所示，连结，则

由勾股定理得，2＋2＝2，

过点D作DG⊥BC于G点

∴CG=BC-BG=BC-AD=6cm

∵∠C=60°

∴DG=CGtan60°＝6cm=AB

∴=

故，即

解得（不合题意，舍去）

所以，经过秒与外切．