Question

【题目】在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线y＝﹣x+4与x轴交于点A，过点A的抛物线y＝ax2+bx与直线y＝﹣x+4交于另一点B，且点B的横坐标为1．

（1）该抛物线的解析式为；

（2）如图1，Q为抛物线上位于直线AB上方的一动点（不与B、A重合），过Q作QP⊥x轴，交x轴于P，连接AQ，M为AQ中点，连接PM，过M作MN⊥PM交直线AB于N，若点P的横坐标为t，点N的横坐标为n，求n与t的函数关系式；在此条件下，如图2，连接QN并延长，交y轴于E，连接AE，求t为何值时，MN∥AE．

（3）如图3，将直线AB绕点A顺时针旋转15度交抛物线对称轴于点C，点T为线段OA上的一动点（不与O、A重合），以点O为圆心、以OT为半径的圆弧与线段OC交于点D，以点A为圆心、以AT为半径的圆弧与线段AC交于点F，连接DF．在点T运动的过程中，四边形ODFA的面积有最大值还是有最小值？请求出该值．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2+4x；（2）n＝，（0＜t＜3）； t＝2时，MN∥AE；（3）在点T运动的过程中，四边形ODFA的面积有最小值为3

【解析】

（1）先求出点A、B的坐标，然后利用待定系数法，即可求出抛物线的解析式；

（2）过点M作MG⊥x轴于G，NH⊥GM于H．先证明N、P、A三点在以M为圆心MA为半径的⊙M上，然后得到△NMH≌△MPG，得到NH＝MG，HM＝PG，再设P为（t，0），然后构建关于t的方程，解方程即可得到t的值；

（3）设OT=m，四边形ODFA的面积为S，CD＝AF＝AT＝4﹣m，CF＝OT＝m，过D作DR⊥AC，垂足为R，则DR＝DCsin60°＝（4﹣m），再由S＝S△OAC﹣S△CDF即可得出结论．

解：（1）∵直线y＝﹣x+4与x轴交于点A，

令y=0，则x=4，

∴点A为（4，0），

∵直线y＝﹣x+4经过点B，点B的横坐标为1，

∴点B的纵坐标为：y＝﹣1+4=3，

∴点B为：（1，3），

把点A、B代入y＝ax2+bx，得

，解得：，

∴抛物线解析式为；

（2）如图1，过点M作MG⊥x轴于G，NH⊥GM于H．

∵OA＝OB，∠AOB＝90°，

∴∠PAN＝45°，

∵∠NMP＝90°，

∴∠PAN＝∠NMP，

∴N、P、A三点在以M为圆心MA为半径的⊙M上，

∴MN＝MP，

∵∠NHM＝∠PGM＝∠NMP＝90°，

∴∠NMH+∠PMG＝90°，∠PMG+∠MPG＝90°，

∴∠NMH＝∠MPG，

∴△NMH≌△MPG，

∴NH＝MG，HM＝PG，

∵P（t，0），

∴Q（t，﹣t2+4t），M（，）

∴MG＝NH

∴﹣n＝

∴n＝，（0＜t＜3）．

∵MN∥AE，QM＝MA，

∴EN＝QN，

∴N为EQ中点，即Nx=

∴＝，

∴t2﹣4t+4＝0，

解得：t＝2

∴t＝2时，MN∥AE．

（3）四边形ODFA的面积有最小值．

设OT＝m，四边形ODFA的面积为S

∵C是抛物线对称上一点，

∴CO＝CA．

∵直线AB绕A点旋转15°，

∴∠OAC=60°

∴△OAC是等边三角形

∵OA＝4，S△OAC＝×42＝，

∴CD＝AF＝AT＝4﹣m，CF＝OT＝m，

过D作DR⊥AC，垂足为R，

则DR＝DCsin60°＝（4﹣m），

∴S△CDF＝CFDR＝m（4﹣m）＝﹣m2+m，

∴S＝S△OAC﹣S△CDF

＝4﹣（﹣m2+m）

＝（m﹣2）2+3．

∴在点T运动的过程中，四边形ODFA的面积有最小值为3．