Question

【题目】如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（﹣2，0）和B（l，0），与y轴交于点C．

（1）求抛物线的表达式；

（2）作射线AC，将射线AC绕点A顺时针旋转90°交抛物线于另一点D，在射线AD上是否存在一点H，使△CHB的周长最小．若存在，求出点H的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）在（2）的条件下，点Q为抛物线的顶点，点P为射线AD上的一个动点，且点P的横坐标为t，过点P作x轴的垂线l，垂足为E，点P从点A出发沿AD方向运动，直线l随之运动，当﹣2＜t＜1时，直线l将四边形ABCQ分割成左右两部分，设在直线l左侧部分的面积为S，求S关于t的函数表达式．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2﹣x+2；（2）点H坐标为（﹣，﹣）；（3）．

【解析】

（1）根据A，B坐标写出交点式，可得函数解析式；

（2）如图1，延长CA到C'，使AC'＝AC，连接BC'，BC'与AD的交点即为满足条件的点H，分别求出AC与AD的解析式和点C坐标，再求出BC'解析式，联立AD与BC'的解析式，可得点H；

（3）存在3种情况，一种是点P在抛物线对称轴的左侧，一种是在右侧且在x轴负半轴，还有一种是在x轴正半轴，然后再根据几何图形特点求解.

（1）抛物线与x轴交于点A（﹣2，0）和B（l，0）

∴交点式为y＝﹣（x+2）（x﹣1）＝﹣（x2+x﹣2）

∴抛物线的表示式为y＝﹣x2﹣x+2

（2）在射线AD上存在一点H，使△CHB的周长最小．

如图1，延长CA到C'，使AC'＝AC，连接BC'，BC'与AD交点即为满足条件的点H

∵x＝0时，y＝﹣x2﹣x+2＝2

∴C（0，2）

∴OA＝OC＝2

∴∠CAO＝45°，直线AC解析式为y＝x+2

∵射线AC绕点A顺时针旋转90°得射线AD

∴∠CAD＝90°

∴∠OAD＝∠CAD﹣∠CAO＝45°

∴直线AD解析式为y＝﹣x﹣2

∵AC'＝AC，

∴C'（﹣4，﹣2），

设直线BC'解析式为y＝kx+a

∴

解得：

∴直线BC'：y＝x﹣

∵，解得：，

∴点H坐标为（﹣，﹣）；

（3）∵y＝﹣x2﹣x+2＝﹣（x+）2+

∴抛物线顶点Q（﹣，）

①当﹣2＜t≤﹣时，如图2，直线l与线段AQ相交于点F

设直线AQ解析式为y＝mx+n

∴，解得：

∴直线AQ：y＝x+3

∵点P横坐标为t，PF⊥x轴于点E

∴F（t，t+3）

∴AE＝t﹣（﹣2）＝t+2，FE＝t+3，

∴S＝S△AEF＝AEEF＝（t+2）（t+3）＝t2+3t+3；

②当﹣＜t≤0时，如图3，直线l与线段QC相交于点G，过点Q作QM⊥x轴于M

∴AM＝﹣﹣（﹣2）＝，QM＝

∴S△AQM＝AMQM＝

设直线CQ解析式为y＝qx+2

把点Q代入：﹣q+2＝，解得：q＝﹣

∴直线CQ：y＝﹣x+2

∴G（t，﹣t+2）

∴EM＝t﹣（﹣）＝t+，GE＝﹣t+2

∴S梯形MEGQ＝（QM+GE）ME＝（﹣t+2）（t+）＝﹣t2+2t+

∴S＝S△AQM+S梯形MEGQ＝+（﹣t2+2t+）＝﹣t2+2t+；

③当0＜t＜1时，如图4，直线l与线段BC相交于点N

设直线BC解析式为y＝rx+2

把点B代入：r+2＝0，解得：r＝﹣2

∴直线BC：y＝﹣2x+2

∴N（t，﹣2t+2）

∴BE＝1﹣t，NE＝﹣2t+2

∴S△BEN＝BENE＝（1﹣t）（﹣2t+2）＝t2﹣2t+1

∵S梯形MOCQ＝（QM+CO）OM＝×（+2）×＝，S△BOC＝BOCO＝×1×2＝1

∴S＝S△AQM+S梯形MOCQ+S△BOC﹣S△BEN＝++1﹣（t2﹣2t+1）＝－t2＋2t+；

综上所述，S＝