Question

7．已知三角形ABC，AB=AC，∠A=90°，点D为AC上一动点，CE⊥BD于点E．
（1）如图1，当BD平分∠B时，判断BD与CE的关系，并说明理由；
（2）如图2，在（1）的条件下，做AF⊥BD于点F，请判断BF、FE、EC三条线段满足怎样的等量关系？并说明理由；
（3）当点D为AC中点，AC=6时，直线BE上一动点P，使得三角形AEP为等腰三角形，求此时BP的长度．

Answer 1

分析 （1）作辅助线，构建等腰三角形和全等三角形，证明△BEC≌△BEG得EC=EG，再证明△ABD≌△ACG，得BD=CG，所以BD=2EC；
（2）BF=EC+EF，如图2，先证明△ABH≌△ACE，得BH=EC，AH=AE，由线段的和BF=BH+FH可得结论；
（3）分三种情况进行讨论：①当AE=EP时，如图3，与（2）同理，依次求AD、BD、AF、AH、FH的长，根据BP=BF+EF+EP求出长度；当AE=EP时，如图4，③当AE=AP时，如图5，同理依次求出BP的长．

解答 解：（1）BD=2CE，理由是：
如图1，延长CE、BA交于G，
∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠ABC=∠ACB=45°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠DBC=22.5°，
∵CE⊥BE，
∴∠BEG=∠BEC=90°，
∵BE=BE，
∴△BEC≌△BEG，
∴EG=EC，
∵∠BAC=∠DEC=90°，∠ADB=∠EDC，
∴∠GCA=∠ABD，
∵∠BAC=∠CAG=90°，
∴△ABD≌△ACG，
∴BD=CG，
∴BD=CG=2EC；
（2）BF=EC+EF，
理由是：
如图2，过A作AH⊥AE，交BE于H，
∴∠HAE=90°，
∵∠BAC=90°，
∴∠BAH+∠HAD=∠EAC+∠HAD，
∴∠BAH=∠EAC，
∵AB=AC，∠ABH=∠ACE，
∴△ABH≌△ACE，
∴BH=EC，AH=AE，
∵AF⊥EH，
∴EF=FH，
∵BF=BH+FH，
∴BF=EC+EF；
（3）当△AEP为等腰三角形时，有三种情况：
①当AE=EP时，如图3，
过A作AF⊥BD于F，过A作AH⊥AE于H，
同理得△ABH≌△ACE，
∴AH=AE，
∴△AHE是等腰直角三角形，
∵D是AC的中点，AC=AB=6，
∴AD=3，
∴BD=$\sqrt{{6}^{2}+{3}^{2}}$=$\sqrt{45}$=3$\sqrt{5}$，
∴S_△ABD=$\frac{1}{2}$AB•AD=$\frac{1}{2}$BD•AF，
6×3=3$\sqrt{5}$AF，
∴AF=$\frac{6\sqrt{5}}{5}$，
∴FH=EF=AF=$\frac{6\sqrt{5}}{5}$，
AH=$\sqrt{2}$FH=$\frac{6\sqrt{10}}{5}$，
在Rt△ABF中，BF=$\sqrt{{6}^{2}-（\frac{6}{\sqrt{5}}）^{2}}$=$\frac{12\sqrt{5}}{5}$，
∴BP=BF+EF+EP=$\frac{12\sqrt{5}}{5}$+$\frac{6\sqrt{5}}{5}$+$\frac{6\sqrt{10}}{5}$=$\frac{18\sqrt{5}+6\sqrt{10}}{5}$，
②当AE=EP时，如图4，
同理得：BP=BF+EF-EP=$\frac{18\sqrt{5}}{5}$-$\frac{6\sqrt{10}}{5}$=$\frac{18\sqrt{5}-6\sqrt{10}}{5}$，
③当AE=AP时，如图5，
同理得：BP=BF-FH=$\frac{12\sqrt{5}}{5}$-$\frac{6\sqrt{5}}{5}$=$\frac{6\sqrt{5}}{5}$．
综上所述，三角形AEP为等腰三角形，BP的长为$\frac{18\sqrt{5}+6\sqrt{10}}{5}$或$\frac{18\sqrt{5}-6\sqrt{10}}{5}$或$\frac{6\sqrt{5}}{5}$．

点评 本题是三角形的综合题，考查了等腰直角三角形、全等三角形的性质和判定，本题恰当地构建辅助线是关键，此题是（1）（2）作铺垫，才能很容易求出第三问的结论，在几何中证明几条线段数量关系时，利用三角形全等将这此线段放在同一条直线上，才能相应得出结论．