【题目】如图,△ABC中,∠BAC=45°,∠ACB=30°,将△ABC绕点A顺时针旋转得到△AB1C1 , 当点C1、B1、C三点共线时,旋转角为α,连接BB1 , 交AC于点D.下列结论:①△AC1C为等腰三角形;②△AB1D∽△BCD;③α=75°;④CA=CB1 , 其中正确的是( )
A.①③④
B.①②④
C.②③④
D.①②③④
【答案】B
【解析】解:∵将△ABC绕点A顺时针旋转得到△AB1C1 , ∴△ABC≌△AB1C1 ,
∴AC1=AC,
∴△AC1C为等腰三角形;故①正确;
∴AC1=AC,
∴∠C1=∠ACC1=30°,
∴∠C1AC=120°,
∴∠B1AB=120°,
∵AB1=AB,
∴∠AB1B=30°=∠ACB,
∵∠ADB1=∠BDC,
∴△AB1D∽△BCD;故②正确;
∵旋转角为α,
∴α=120°,故③错误;
∵∠C1AB1=∠BAC=45°,
∴∠B1AC=75°,
∵∠AB1C1=∠BAC=105°,
∴∠AB1C=75°,
∴∠B1AC=∠AB1C,
∴CA=CB1;故④正确.
故选B.
【考点精析】认真审题,首先需要了解相似三角形的判定与性质(相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等)的比等于相似比;相似三角形周长的比等于相似比;相似三角形面积的比等于相似比的平方),还要掌握旋转的性质(①旋转后对应的线段长短不变,旋转角度大小不变;②旋转后对应的点到旋转到旋转中心的距离不变;③旋转后物体或图形不变,只是位置变了)的相关知识才是答题的关键.
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【题目】在开展“经典阅读”活动中,某学校为了解全校学生利用课外时间阅读的情况,学校团委随机抽取若干名学生,调查他们一周的课外阅读时间,并根据调查结果绘制了如下尚不完整的统计表.根据图表信息,解答下列问题: 频率分布表
阅读时间 | 频数 | 频率 |
1≤x<2 | 18 | 0.12 |
2≤x<3 | a | m |
3≤x<4 | 45 | 0.3 |
4≤x<5 | 36 | n |
5≤x<6 | 21 | 0.14 |
合计 | b | 1 |
(1)填空:a= , b= , m= , n=;
(2)将频数分布直方图补充完整(画图后请标注相应的频数);
(3)若该校由3000名学生,请根据上述调查结果,估算该校学生一周的课外阅读时间不足三小时的人数.
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【题目】下列说法中正确的是( )
A.掷两枚质地均匀的硬币,“两枚硬币都是正面朝上”这一事件发生的概率为
B.“对角线相等且相互垂直平分的四边形是正方形”这一事件是必然事件
C.“同位角相等”这一事件是不可能事件
D.“钝角三角形三条高所在直线的交点在三角形外部”这一事件是随机事件
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【题目】如图1,抛物线y=ax2+bx+3(a≠0)与x轴交于点A、点B(点A在点B左侧),与y轴交于点C,点D为抛物线的顶点,已知点A、点B的坐标分别为A(﹣1,0)、B(3,0).
(1)求抛物线的解析式;
(2)在直线BC上方的抛物线上找一点P,使△PBC的面积最大,求P点的坐标;
(3)如图2,连接BD、CD,抛物线的对称轴与x轴交于点E,过抛物线上一点M作MN⊥CD,交直线CD于点N,求当∠CMN=∠BDE时点M的坐标.
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【题目】如图,已知△ABC中,AB=AC,BD、CE是高,BD与CE相交于点O
(1)求证:OB=OC;
(2)若∠ABC=50°,求∠BOC的度数.
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【题目】解答题
(1)操作发现:如图,小明在矩形纸片ABCD的边AD上取中点E,将△ABE沿BE折叠后得到△GBE,且点G在矩形ABCD内部,将BG延长交DC于点F,认为GF=DF,你同意吗?说明理由.
(2)问题解决:保持(1)中条件不变,若DC=2FC,求 的值.
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