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【题目】如图1,抛物线y=ax2+bx+3(a≠0)与x轴交于点A、点B(点A在点B左侧),与y轴交于点C,点D为抛物线的顶点,已知点A、点B的坐标分别为A(﹣1,0)、B(3,0).

(1)求抛物线的解析式;
(2)在直线BC上方的抛物线上找一点P,使△PBC的面积最大,求P点的坐标;
(3)如图2,连接BD、CD,抛物线的对称轴与x轴交于点E,过抛物线上一点M作MN⊥CD,交直线CD于点N,求当∠CMN=∠BDE时点M的坐标.

【答案】
(1)

解:将A(﹣1,0)、B(3,0)两点代入y=ax2+bx+3得: ,解得:a﹣1,b=2.

∴抛物线的表达式为:y=﹣x2+2x+3


(2)

解:由题意设P(x,﹣x2+2x+3),过点P作x轴的垂线,交直线BC于点Q.

将x=0代入抛物线的解析式得:y=3,

∴点C的坐标为(0,3).

设直线BC的解析式为y=kx+b,将点B,C的坐标代入得:

解得:k=﹣1,b=3.

∴直线CB解析式:y=﹣x+3,则Q(x,﹣x+3)

∴PQ=﹣x2+2x+3﹣(﹣x+3)=﹣x2+3x.

∴SBCD= PQOB= ×(﹣x2+3x)×3=﹣ (x﹣ 2+

∴当x= 时,SBCD取最大值,

此时P( ).


(3)

解:∵抛物线y=﹣(x﹣3)(x+1)=﹣x2+2x+3与与y轴交于点C,

∴C点坐标为(0,3),顶点(1,4),E(1,0)

∴tan∠BDE= =

①当点M在对称轴的右侧时.

(i)作当点N在射线CD上时,如图2,过点N作y轴的垂线,垂足为G,

过点M作GN的垂线,垂足为H,则△CNG,△MNH均为等腰直角三角形.

∵∠CMN=∠BDE,

∴tan∠CMN=tan∠BDE= =

∴△CNG,△MNH相似比为1:2

设CG=a,则NG=a,NH=NH=2a,

∴M(3a,3+a﹣2a),即M(3a,3﹣a),

将点M的坐标代入抛物线的解析式得:﹣(3a)2+2×3a+3=3﹣a,解得:a=0(舍去)或a=

此时M( ).

(ii)若点N在射线DC上,如图3,过点N作x轴的垂线l,分别过点M、C作GN的垂线,垂足为H、G,则△CNG,△MNH均为等腰直角三角形,

∵∠CMN=∠BDE,

∴tan∠CMN=tan∠BDE= =

∴△CNG与△MNH相似比为1:2

设CG=a,则NG=a,NH=NH=2a,

∴M(a,3﹣a﹣2a),即M(a,3﹣3a),

将点M的坐标代入抛物线的解析式得:﹣a2+2a+3=3﹣3a,解得:a=0(舍去)或a=5,此时M(5,12)

②当点M在对称轴左侧时.

∵∠CMN=∠BDE<45°,

∴∠MCN>45°,

∵抛物线左侧任意一点K,都有∠KCN<45°,

∴点M不存在.

综上可知,点M坐标为( )或(5,12)


【解析】(1)将A(﹣1,0)、B(3,0)两点代入得到关于a、b的方程组,可求得a、b的值;(2)由题意设P(x,﹣x2+2x+3),过点P作x轴的垂线,交直线BC于点Q.先求得直线BC的解析式,则得到Q(x,﹣x+3),然后列出△BCD的面积与x的关系式,利用配方法可求得点P的横坐标以及△CBD的面积的最大值;(3)首先求得C点坐标为(0,3),顶点(1,4),E(1,0)则tan∠BDE= .①当点M在对称轴的右侧时,作当点N在射线CD上时,如图1,过点N作y轴的垂线,垂足为G,过点M作GN的垂线,垂足为H,则△CNG,△MNH均为等腰直角三角形.设CG=a,用含a的式子表示点M的坐标,然后将点M的坐标代入抛物线的解析式可求得a的值;若点N在射线DC上,如图,过点N作x轴的垂线l,分别过点M、C作GN的垂线,垂足为H、G,则△CNG,△MNH均为等腰直角三角形,同理可求得此时a的值;②当点M在对称轴左侧时,抛物线左侧任意一点K,都有∠KCN<45°.

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