【题目】如图1,抛物线y=ax2+bx+3(a≠0)与x轴交于点A、点B(点A在点B左侧),与y轴交于点C,点D为抛物线的顶点,已知点A、点B的坐标分别为A(﹣1,0)、B(3,0).
(1)求抛物线的解析式;
(2)在直线BC上方的抛物线上找一点P,使△PBC的面积最大,求P点的坐标;
(3)如图2,连接BD、CD,抛物线的对称轴与x轴交于点E,过抛物线上一点M作MN⊥CD,交直线CD于点N,求当∠CMN=∠BDE时点M的坐标.
【答案】
(1)
解:将A(﹣1,0)、B(3,0)两点代入y=ax2+bx+3得: ,解得:a﹣1,b=2.
∴抛物线的表达式为:y=﹣x2+2x+3
(2)
解:由题意设P(x,﹣x2+2x+3),过点P作x轴的垂线,交直线BC于点Q.
将x=0代入抛物线的解析式得:y=3,
∴点C的坐标为(0,3).
设直线BC的解析式为y=kx+b,将点B,C的坐标代入得: ,
解得:k=﹣1,b=3.
∴直线CB解析式:y=﹣x+3,则Q(x,﹣x+3)
∴PQ=﹣x2+2x+3﹣(﹣x+3)=﹣x2+3x.
∴S△BCD= PQOB= ×(﹣x2+3x)×3=﹣ (x﹣ )2+ .
∴当x= 时,S△BCD取最大值,
此时P( , ).
(3)
解:∵抛物线y=﹣(x﹣3)(x+1)=﹣x2+2x+3与与y轴交于点C,
∴C点坐标为(0,3),顶点(1,4),E(1,0)
∴tan∠BDE= = .
①当点M在对称轴的右侧时.
(i)作当点N在射线CD上时,如图2,过点N作y轴的垂线,垂足为G,
过点M作GN的垂线,垂足为H,则△CNG,△MNH均为等腰直角三角形.
∵∠CMN=∠BDE,
∴tan∠CMN=tan∠BDE= = .
∴△CNG,△MNH相似比为1:2
设CG=a,则NG=a,NH=NH=2a,
∴M(3a,3+a﹣2a),即M(3a,3﹣a),
将点M的坐标代入抛物线的解析式得:﹣(3a)2+2×3a+3=3﹣a,解得:a=0(舍去)或a=
此时M( , ).
(ii)若点N在射线DC上,如图3,过点N作x轴的垂线l,分别过点M、C作GN的垂线,垂足为H、G,则△CNG,△MNH均为等腰直角三角形,
∵∠CMN=∠BDE,
∴tan∠CMN=tan∠BDE= = ,
∴△CNG与△MNH相似比为1:2
设CG=a,则NG=a,NH=NH=2a,
∴M(a,3﹣a﹣2a),即M(a,3﹣3a),
将点M的坐标代入抛物线的解析式得:﹣a2+2a+3=3﹣3a,解得:a=0(舍去)或a=5,此时M(5,12)
②当点M在对称轴左侧时.
∵∠CMN=∠BDE<45°,
∴∠MCN>45°,
∵抛物线左侧任意一点K,都有∠KCN<45°,
∴点M不存在.
综上可知,点M坐标为( , )或(5,12)
【解析】(1)将A(﹣1,0)、B(3,0)两点代入得到关于a、b的方程组,可求得a、b的值;(2)由题意设P(x,﹣x2+2x+3),过点P作x轴的垂线,交直线BC于点Q.先求得直线BC的解析式,则得到Q(x,﹣x+3),然后列出△BCD的面积与x的关系式,利用配方法可求得点P的横坐标以及△CBD的面积的最大值;(3)首先求得C点坐标为(0,3),顶点(1,4),E(1,0)则tan∠BDE= .①当点M在对称轴的右侧时,作当点N在射线CD上时,如图1,过点N作y轴的垂线,垂足为G,过点M作GN的垂线,垂足为H,则△CNG,△MNH均为等腰直角三角形.设CG=a,用含a的式子表示点M的坐标,然后将点M的坐标代入抛物线的解析式可求得a的值;若点N在射线DC上,如图,过点N作x轴的垂线l,分别过点M、C作GN的垂线,垂足为H、G,则△CNG,△MNH均为等腰直角三角形,同理可求得此时a的值;②当点M在对称轴左侧时,抛物线左侧任意一点K,都有∠KCN<45°.
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【题目】如图,在菱形ABCD中,P是对角线AC上任一点(不与A,C重合),连接BP,DP,过P作PE∥CD交AD于E,过P作PF∥AD交CD于F,连接EF.
(1)求证:△ABP≌△ADP;
(2)若BP=EF,求证:四边形EPFD是矩形.
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科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】为了解某校学生今年五一期间参加社团活动时间的情况,随机抽查了其中100名学生进行统计,并绘制成如图所示的频数直方图,已知该校共有1000名学生,据此估计,该校五一期间参加社团活动时间在8~10小时之间的学生数大约是( )
A.280
B.240
C.300
D.260
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【题目】如图,△ABC中,∠BAC=45°,∠ACB=30°,将△ABC绕点A顺时针旋转得到△AB1C1 , 当点C1、B1、C三点共线时,旋转角为α,连接BB1 , 交AC于点D.下列结论:①△AC1C为等腰三角形;②△AB1D∽△BCD;③α=75°;④CA=CB1 , 其中正确的是( )
A.①③④
B.①②④
C.②③④
D.①②③④
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【题目】将函数y=2x+b(b为常数)的图象位于x轴下方的部分沿x轴翻折至其上方后,所得的折线是函数y=|2x+b|(b为常数)的图象.若该图象在直线y=2下方的点的横坐标x满足0<x<3,则b的取值范围为 .
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,Rt△ABC的顶点A,C分别在y轴,x轴上,∠ACB=90°,OA= ,抛物线y=ax2﹣ax﹣a经过点B(2, ),与y轴交于点D.
(1)求抛物线的表达式;
(2)点B关于直线AC的对称点是否在抛物线上?请说明理由;
(3)延长BA交抛物线于点E,连接ED,试说明ED∥AC的理由.
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