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【题目】如图,在平面直角坐标系中,Rt△ABC的顶点A,C分别在y轴,x轴上,∠ACB=90°,OA= ,抛物线y=ax2﹣ax﹣a经过点B(2, ),与y轴交于点D.

(1)求抛物线的表达式;
(2)点B关于直线AC的对称点是否在抛物线上?请说明理由;
(3)延长BA交抛物线于点E,连接ED,试说明ED∥AC的理由.

【答案】
(1)

解:方法一:把点B的坐标代入抛物线的表达式,得 =a×22﹣2a﹣a,

解得a=

∴抛物线的表达式为y= x2 x﹣


(2)

解:方法一:连接CD,过点B作BF⊥x轴于点F,则∠BCF+∠CBF=90°

∵∠ACB=90°,

∴∠ACO+∠BCF=90°,

∴∠ACO=∠CBF,

∵∠AOC=∠CFB=90°,

∴△AOC∽△CFB,

=

设OC=m,则CF=2﹣m,则有 =

解得m1=m2=1,

∴OC=CF=1,

当x=0时,y=﹣

∴OD=

∴BF=OD,

∵∠DOC=∠BFC=90°,

∴△OCD≌△FCB,

∴DC=CB,∠OCD=∠FCB,

∴点B、C、D在同一直线上,

∴点B与点D关于直线AC对称,

∴点B关于直线AC的对称点在抛物线上

方法二:

设C点坐标为(t,0),B点关于直线AC的对称点为B′,

∵∠ACB=90°,

∴AC⊥BC,

∴KAC×KBC=﹣1,

∵OA= ,∴A(0, ),B(2, ),C(t,0),

=﹣1,

∴t(t﹣2)=﹣1,

∴t=1,C(1,0),

∴B′x=0,B′Y=﹣

∴B关于直线AC的对称点即为点D


(3)

解:方法一:

过点E作EG⊥y轴于点G,设直线AB的表达式为y=kx+b,则

解得k=﹣

∴y=﹣ x+ ,代入抛物线的表达式﹣ x+ = x2 x﹣

解得x=2或x=﹣2,

当x=﹣2时y=﹣ x+ =﹣ ×(﹣2)+ =

∴点E的坐标为(﹣2, ),

∵tan∠EDG= = =

∴∠EDG=30°

∵tan∠OAC= = =

∴∠OAC=30°,

∴∠OAC=∠EDG,

∴ED∥AC

方法二:

∵A(0, ),B(2, ),

解得:x1=2(舍),x2=﹣2,

∴E(﹣2, ),D(0,﹣ ),A(0, ),C(1,0),

∴KED= ,KAC=

∴KED=KAC

∴ED∥AC.


【解析】方法一:(1)把点B的坐标代入抛物线的表达式即可求得.(2)通过△AOC∽△CFB求得OC的值,通过△OCD≌△FCB得出DC=CB,∠OCD=∠FCB,然后得出结论.(3)设直线AB的表达式为y=kx+b,求得与抛物线的交点E的坐标,然后通过解三角函数求得结果.
方法二:(1)略.(2)利用垂直公式及中点公式求出点B关于直线AC的对称点B’坐标,并得出B’与点D重合.(3)分别求出点A,C,E,D坐标,并证明直线ED与AC斜率相等.

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