【题目】如图,在平面直角坐标系中,Rt△ABC的顶点A,C分别在y轴,x轴上,∠ACB=90°,OA= ,抛物线y=ax2﹣ax﹣a经过点B(2, ),与y轴交于点D.
(1)求抛物线的表达式;
(2)点B关于直线AC的对称点是否在抛物线上?请说明理由;
(3)延长BA交抛物线于点E,连接ED,试说明ED∥AC的理由.
【答案】
(1)
解:方法一:把点B的坐标代入抛物线的表达式,得 =a×22﹣2a﹣a,
解得a= ,
∴抛物线的表达式为y= x2﹣ x﹣
(2)
解:方法一:连接CD,过点B作BF⊥x轴于点F,则∠BCF+∠CBF=90°
∵∠ACB=90°,
∴∠ACO+∠BCF=90°,
∴∠ACO=∠CBF,
∵∠AOC=∠CFB=90°,
∴△AOC∽△CFB,
∴ = ,
设OC=m,则CF=2﹣m,则有 = ,
解得m1=m2=1,
∴OC=CF=1,
当x=0时,y=﹣ ,
∴OD= ,
∴BF=OD,
∵∠DOC=∠BFC=90°,
∴△OCD≌△FCB,
∴DC=CB,∠OCD=∠FCB,
∴点B、C、D在同一直线上,
∴点B与点D关于直线AC对称,
∴点B关于直线AC的对称点在抛物线上
方法二:
设C点坐标为(t,0),B点关于直线AC的对称点为B′,
∵∠ACB=90°,
∴AC⊥BC,
∴KAC×KBC=﹣1,
∵OA= ,∴A(0, ),B(2, ),C(t,0),
∴ =﹣1,
∴t(t﹣2)=﹣1,
∴t=1,C(1,0),
∴ , ,
∴B′x=0,B′Y=﹣ ,
∴B关于直线AC的对称点即为点D
(3)
解:方法一:
过点E作EG⊥y轴于点G,设直线AB的表达式为y=kx+b,则 ,
解得k=﹣ ,
∴y=﹣ x+ ,代入抛物线的表达式﹣ x+ = x2﹣ x﹣ .
解得x=2或x=﹣2,
当x=﹣2时y=﹣ x+ =﹣ ×(﹣2)+ = ,
∴点E的坐标为(﹣2, ),
∵tan∠EDG= = = ,
∴∠EDG=30°
∵tan∠OAC= = = ,
∴∠OAC=30°,
∴∠OAC=∠EDG,
∴ED∥AC
方法二:
∵A(0, ),B(2, ),
∴ ,
解得:x1=2(舍),x2=﹣2,
∴E(﹣2, ),D(0,﹣ ),A(0, ),C(1,0),
∴KED= ,KAC= ,
∴KED=KAC,
∴ED∥AC.
【解析】方法一:(1)把点B的坐标代入抛物线的表达式即可求得.(2)通过△AOC∽△CFB求得OC的值,通过△OCD≌△FCB得出DC=CB,∠OCD=∠FCB,然后得出结论.(3)设直线AB的表达式为y=kx+b,求得与抛物线的交点E的坐标,然后通过解三角函数求得结果.
方法二:(1)略.(2)利用垂直公式及中点公式求出点B关于直线AC的对称点B’坐标,并得出B’与点D重合.(3)分别求出点A,C,E,D坐标,并证明直线ED与AC斜率相等.
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图1,抛物线y=ax2+bx+3(a≠0)与x轴交于点A、点B(点A在点B左侧),与y轴交于点C,点D为抛物线的顶点,已知点A、点B的坐标分别为A(﹣1,0)、B(3,0).
(1)求抛物线的解析式;
(2)在直线BC上方的抛物线上找一点P,使△PBC的面积最大,求P点的坐标;
(3)如图2,连接BD、CD,抛物线的对称轴与x轴交于点E,过抛物线上一点M作MN⊥CD,交直线CD于点N,求当∠CMN=∠BDE时点M的坐标.
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科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】已知点P(x0 , y0)和直线y=kx+b,则点P到直线y=kx+b的距离证明可用公式d= 计算.
例如:求点P(﹣1,2)到直线y=3x+7的距离.
解:因为直线y=3x+7,其中k=3,b=7.
所以点P(﹣1,2)到直线y=3x+7的距离为:d= = = = .
根据以上材料,解答下列问题:
(1)求点P(1,﹣1)到直线y=x﹣1的距离;
(2)已知⊙Q的圆心Q坐标为(0,5),半径r为2,判断⊙Q与直线y= x+9的位置关系并说明理由;
(3)已知直线y=﹣2x+4与y=﹣2x﹣6平行,求这两条直线之间的距离.
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科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,△ABC的三个顶点的坐标分别为A(﹣3,5),B(﹣3,0),C(2,0),将△ABC绕点B顺时针旋转一定角度后使A落在y轴上,与此同时顶点C恰好落在y= 的图象上,则k的值为 .
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科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,已知:n为正整数,点A1(x1 , y1),A2(x2 , y2),A3(x3 , y3),A4(x4 , y4)…An(xn , yn)均在直线y=x﹣1上,点B1(m1 , p1),B2(m2 , p2),B3(m3 , p3)…Bn(mn , pn)均在双曲线y=﹣ 上,并且满足:A1B1⊥x轴,B1A2⊥y轴,A2B2⊥x轴,B2A3⊥y轴,A3B3⊥x轴,…,AnBn⊥x轴,BnAn+1⊥y轴,若点A1的横坐标为﹣1,则点A2017的坐标为( )
A.(﹣1,﹣2)
B.(2,1)
C.( ,﹣ )
D.( ,﹣2)
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