Question

8．已知，如图，∠1=∠2，AD⊥BD于D，∠ACB=90°，AC=BC．证明：
（1）△ABD≌△NBD；
（2）AD=$\frac{1}{2}$BE．

Answer 1

分析 （1）根据垂直的定义可得∠ADB=∠NDB=90°，再利用“角边角”证明即可；
（2）根据全等三角形对应边相等可得AD=ND，根据等角的余角相等求出∠2=∠3，然后利用“角边角”证明△ACN和△BCE全等，根据全等三角形对应边相等可得BE=AN，然后等量代换即可得证．

解答 证明：（1）∵AD⊥BD，
∴∠ADB=∠NDB=90°，
在△ABD和△NBD中，$\left\{\begin{array}{l}{∠1=∠2}\\{BD=BD}\\{∠ADB=∠NDB=90°}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△NBD（ASA）；

（2）∵△ABD≌△NBD，
∴AD=ND，
∴AD=$\frac{1}{2}$AN，
∵AD⊥BD于D，∠ACB=90°，
∴∠3+∠AED=90°，∠2+∠BEC=90°，
∵∠AED=∠BEC（对顶角相等），
∴∠2=∠3，
在△ACN和△BCE中，$\left\{\begin{array}{l}{∠2=∠3}\\{AC=BC}\\{∠ACN=∠BCE=90°}\end{array}\right.$，
∴△ACN≌△BCE（ASA），
∴BE=AN，
∴AD=$\frac{1}{2}$BE．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质，等角的余角相等的性质，熟练掌握三角形全等的判定方法并准确识图是解题的关键．