Question

已知△ABC，AB=2BC，3∠B=2∠C，求∠C的度数．

Answer 1

考点：三角形内角和定理

专题：

分析：根据AB=2BC，可知点A应在以B为圆心，2BC为半径的圆上，点C在以B为圆心，BC为半径的圆上，则AC与小圆的位置关系只有相切或相交两种情况，然后解答可．

解答：解：∵AB=2BC
∴点A应在以B为圆心，2BC为半径的圆上，点C在以B为圆心，BC为半径的圆上，
则AC与小圆的位置关系只有相切或相交两种情况．
当AC与小圆相切时，如图1：
∠C=90°则3∠B=2×90，
∴∠B=60°此时，∠A=30°AB=2BC，
∴∠C=90°是符合条件的．
当AC与小圆相交时，如图2：此时，AB=2BC仍成立，
但如果点C在C₁的位置，则∠B变小，∠C变大，作BH⊥AC于H，设∠HBC₁=x，则∠B=60-x，∠C1=90+x，
3（60-x）=2（90+x ），
解得x=0，同理，当点C在C₂的位置时，x=0，
∴AB不可能与小圆相交，只能相切，
∴∠C的度数为90°．

点评：本题考查了三角形内角和定理，涉及直线与圆的位置关系，圆与圆的位置关系以及分类讨论的数学思想，有一定难度．